高中数学高考06第一部分 板块二 专题二 数 列 第1讲　数列、等差数列与等比数列(小题)课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
热点一　等差数列、等比数列的基本运算
热点二　等差数列、等比数列的性质
热点三　等差数列、等比数列的综合问题
热点四　数列的递推关系
1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
2.等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
例1　(1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为____.
解析　设等差数列的公差为d，由a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，作差得3d＝－9，所以d＝－3，所以数列{an}为递减数列，又a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝3a1－18＝156，解得a1＝58，所以an＝58－3(n－1)＝61－3n，n∈N*.由an≥0得，61－3n≥0，即n≤20，n∈N*，所以a20>0，a21<0，所以当n＝20时，Sn取最大值.
解析　数列an是正项等比数列且q≠1，由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去).
跟踪演练1　(1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为A.2 B.3 C.4 D.6
解析　由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝54，即a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝18,2d＝a2＋a5－(a2＋a3)＝8，所以d＝4.
解析　设数列{an}的公比为q，
解析　因为a1＝9，a5＝1，
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为____.
令Sn>0，得00成立的n的最大值为9.
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.
例2　(1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于A.126 B.130 C.147 D.210
解析　∵在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝42，解得a5＝14，∴数列{an}的前9项和
解析　∵a1a2 019＝1，
∴f(a2)＋f(a2 018)＝2，…，f(a1 009)＋f(a1 011)＝2，f(a1 010)＝1，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)＝2×1 009＋1＝2 019.
(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝____.
解析　令m＝1，∵am·an＝am＋n，∴a1·an＝a1＋n，又an>0，∴数列{an}为等比数列.
∵a4>0，∴a4＝8，∴lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7
跟踪演练2　(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　设数列{an}的公比为q.∵数列{an}是等比数列，
(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于A.－510 或－510 D.30或40
解析　∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.
解决数列的综合问题的失分点(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；
例3　(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝____.
解析　设等差数列的公差为d，
所以an＝2n－3，n∈N*.
所以2m－3＝27，所以m＝15.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于A.1 062 B.2 124 C.1 101 D.1 100
解析　设数列{an}的公差为d，
∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.当n≥2时，bn＋1－bn＝bn，∴bn＋1＝2bn，即数列{bn}从第二项起为等比数列，∴bn＝2n－2(n≥2)，
分组求和可得数列{cn}的前11项和S11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22＋…＋29)＝77＋210＝1 101.
跟踪演练3　(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为A.31 B.34 C.62 D.59
即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于a1＝3，解得d＝1，故an＝n＋2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当n＝1时，b1＝S1＝21＝2，
故cn的前3项和为a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×2＋4×2＋5×4＝34.
(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于A.240 B.309 C.310 D.345
解析　an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，∴an＝a2n，且n为奇数时，an＝n，∴S30＝1＋1＋3＋1＋5＋3＋7＋1＋9＋5＋11＋3＋13＋7＋15＋1＋17＋9＋19＋5＋21＋11＋23＋3＋25＋13＋27＋7＋29＋15＝(1＋3＋5＋…＋29)＋(4＋9＋10＋14＋9＋11＋13＋15)
由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式.
则数列{xn}的周期为6，x2 019＝x3＋336×6＝x3＝2.
(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1A.99 B.100 C.101 D.102
跟踪演练4　(1)数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为A.－100 B.100 C.－110 D.110
解析　由an＋1＋an＝(－1)n·n，得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19，∴{an}的前20项和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19
(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2 019等于
解析　由an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an可得an＋1＝an，即数列{an}是常数列，又数列{an}的首项为1，所以an＝1，所以当SnSn＋1≠0时，2SnSn＋1＋anbn＋1＝0可化为2SnSn＋1＋bn＋1＝0，因为Sn为数列{bn}的前n项和，
1.(2015·全国Ⅰ，文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于
解析　设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.
解析　根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)，又由a1＝1，S3＝a5，得3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，则am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2 019，解得m＝1 010.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，则m＝________.
解析　利用等差数列满足an＝a1＋(n－1)d，
解得a1＋5d＝a6＝2，
解析　设数列{an}的公比为q，由题意易知q>1.等比数列{an}中，a3－a1＝8，
所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－2＋bn－1＋bn，Sn＝16[1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n－2)×3n－3＋(n－1)×3n－2＋n×3n－1]，3Sn＝16[1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－2)×3n－2＋(n－1)×3n－1＋n×3n]，两式相减得
Sn＝8n×3n－4×3n＋4，故Sn＝(8n－4)×3n＋4.