高中数学高考01练-冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（解析版）

这是一份高中数学高考01练-冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。
冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（一）

一、单选题
1．集合，，则为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到，，再计算得到答案.
【详解】
，，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
2．设复数，若为实数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可
【详解】
解:,
,
由为实数,则,即,
故选:C
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.
【详解】
命题“，”的否定是，.
故选：C.
【点睛】
全程命题：，，它的否定：，.
4．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则( )
A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的性质首先确定函数的解析式，然后由函数的解析式即可确定函数的周期和单调性.
【详解】
，
∴函数的周期为.
再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x=0与,可得,解得,
故.
函数的对称轴方程为，则当时，，
则，令可得，
即，
则的最小正周期为，且在上为单调递增函数
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，由三角函数的性质确定解析式的方法，三角函数的单调性和周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．中，，，若，则角C为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积得，即可求解.
【详解】
由题：中，，，
若，即，
，
所以．
故选：B
【点睛】
此题考查根据平面向量数量积的坐标表示求解三角形的内角，关键在于熟练掌握两角和的余弦公式的逆用.
6．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】
从箱子中一次摸出个球共有种情况；颜色相同的共有种情况
摸到的球颜色相同的概率
故选：
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.
7．若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像交点个数为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．多于8
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用周期性画出函数的图象，再利用对数函数的图象及函数的对称性画出的图象，数形结合即可得解
【详解】
解：，函数是周期为2的周期函数．
时，，
函数的图象与函数的图象如图：
时，
由图数形结合可得
函数的图象与函数的图象交点个数是8个．
故选：．

【点睛】
本题考查了函数的周期性、对称性及其意义，对数函数的图象，数形结合的思想方法，属于中档题．
8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.


二、 多选题
9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300

空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染

如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：

下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；
对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占是正确的，
故B正确；
对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，
故C错误；
对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，
故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.
10．已知，，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性可判断；由作差法和不等式的性质可判断；可根据换底公式，取，，运用对数函数单调性，可判断；运用作差法和不等式的性质，可判断.
【详解】
由，，可得，故正确；
由，， 可得 ， ，故错误；
由，，，，则，则，可得，故正确；
由，，可得，故正确.
故选:
【点睛】
本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.
11．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.
【详解】
因为该函数是奇函数，故在R上的解析式为：

绘制该函数的图像如下所示：

对A：如图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；
对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时，，故C正确；
对D：时，若使得其与的所有零点之和为0，
则，或，如图直线，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.
12．如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )

A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值；
C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A取的中点为，连接交于点，则，
由，则，从而判断A，对于B，由判断A的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判断；对于D根据题意知，只有当平面平面时，
三棱锥的体积最大，取的中点为，
连接，再由线面垂直的性质定理即可判断；
【详解】
对于A，取的中点为，连接交于点，如图






则，
如果，则,
由于，则,
由于三线共面且共点，
故这是不可能的，故不正确；
对于B，如图，由,
且，
在中，由余弦定理得：
，也是定值，
故是定值，故正确；
对于C，如图

，即,则
若，由于，
且平面，
平面，平面，
，则,
由于，故不成立，故不正确；
对于D，根据题意知，只有当平面平面时，
三棱锥的体积最大，取的中点为，
连接，如图
，则，
且，平面平面
，平面
平面，平面
，
则，,
,
从而,
易知
的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，
表面积是，故D正确；
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

三、 填空题
13．函数 (e为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导得到导数f′(x)＝ex＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，故得到切线方程为.
【详解】
∵函数f(x)＝ex＋2x，∴导数＝ex＋2，∴f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，对比已知所给的渐近线方程，可以求出的值，最后求出双曲线的离心率.
【详解】
渐近线方程为，所以，
故离心率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率公式，考查了数学运算能力.
15．展开式的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】-160
【解析】
【详解】
由，令得，所以展开式的常数项为.
考点：二项式定理.

16．已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，，两两垂直，可将三棱锥补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可.
【详解】
由，，两两垂直，可将三棱锥补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.

【点睛】
本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.

四、 解答题
17．的内角的对边分别为，已知，.
（1）求角C；
（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理化简整理再用角的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.
(2)易得的周长等于,再利用正弦定理将用角表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.
【详解】
解法一：（1）根据余弦定理得

整理得，
，

（2）依题意得为等边三角形，所以的周长等于
由正弦定理，
所以，



，，
，
，
所以的周长的取值范围是．
解法二：（1）根据正弦定理得

,
,
，
，
，

（2）同解法一
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.
18．已知等差数列中，为其前项和,;等比数列的前项和
(1)求数列的通项公式;
(2)当各项为正时,设,求数列的前项和.
【答案】（1）或， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求；由与的关系可求.
（2）利用错位相减法即可求和.
【详解】
解：（1）设等差数列的首项为，公差为
则


当时，
当时，也满足上式
所以
（2）由题可知，



故
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知求以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.
19．在中（图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
(1)根据条件先证明平面，然后结论可证.
(2) 以为原点，、、所在的直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：在图1中有：，，所以
在中，，，
，所以
在图2中有：在中，，为的中点
，在中，，，
，所以
翻折后仍有
又、平面，，
平面
平面，
所以
（2）解：由（1）可知、、两两互相垂直.
以为原点，、、所在的直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，，

平面的法向量为

二面角的余弦值为
【点睛】
本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.
20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
【分析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
21．已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.
【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.
【解析】
【详解】
试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.
试题解析：
(1)直线AB的方程是y＝2（x-），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p＝9，故p=4
(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
【点睛】
求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.
22．已知函数.
（1）若，求函数的所有零点；
（2）若，证明函数不存在的极值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；
（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.
【详解】
（1）解：当 时，，
函数的定义域为，
且．
设，
则 ．
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，（当且仅当时取等号）．
即当时，（当且仅当时取等号）．
所以函数在单调递增，至多有一个零点.
因为，是函数唯一的零点.
所以若，则函数的所有零点只有．
（2）证法1：因为，
函数的定义域为，且．
当时，，
由（1）知．
即当时，
所以在上单调递增．
所以不存在极值．
证法2：因为，
函数的定义域为 ，且．
设，
则 ．
设 ，则与同号．
当 时，由，
解得，．
可知当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由（1）知．
则．
所以，即在定义域上单调递增．
所以不存在极值．
【点睛】
该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.