高中数学高考04第一部分 板块二 专题一 三角函数、三角恒等变换与解三角形　第3讲 三角恒等变换与解三角形(小题)

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第3讲　三角恒等变换与解三角形(大题)热点一　三角形基本量的求解求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．例1　(2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝S，其中S为△ABC的面积．(1)求sin C；(2)若a－b＝－，求△ABC的周长．       跟踪演练1　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos A＝bcos C＋ccos B.(1)求A；(2)若a＝7，b＝8，求c.        热点二　与三角形面积有关的问题三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值．例2　(2019·湖南雅礼中学月考)已知函数f(x)＝cos＋2sin xcos x＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)设△ABC的 三 边 a，b，c 所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f(C)＝＋，求△ABC的面积．       跟踪演练2　(2019·江淮十校联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccos C＋bcos A＋acos B＝0.(1)求角C的大小；(2)若c＝3，A＝，求△ABC的面积．      热点三　以平面几何为背景的解三角形问题解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围．例3　(2019·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－.(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；(2)若∠CBD＝45°，求CD的长．        跟踪演练3　(2019·淮南模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝，AD＝，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC＝－.(1)求sin∠BAC的值；(2)求△ABC的面积．        真题体验(2019·全国Ⅲ，文，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．       押题预测在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos A＝acos C.(1)求角A；(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．        A组　专题通关1．(2019·湖南雅礼中学月考)如图，在△ABC中，B＝，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD＝α，sin α＝.(1)求sin  C；(2)若·＝28，求AC的长．   2．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a＝3c.(1)若tan B＝2tan C，求B；(2)若△ABC的面积为3，tan A＝3，求△ABC的周长．       3．(2019·成都模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝－1，∠ABC＝120°，∠ADC＝30°，CD＝.(1)求sin∠CAB；(2)求四边形ABCD的面积．       B组　能力提高4．(2019·上饶联考)已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC的面积为.(1)求sin∠BAD·sin∠BDA的值；(2)若BC＝6AB，AD＝2，求b.     5．(2019·河北衡水金卷质量测评)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝，A＝60°，C＝45°.(1)求c的值；(2)以AB为一边向外(与点C不在AB同侧)作一新的△ABP，使得∠APB＝30°，求△ABP面积的最大值．