初中数学华师大版八年级下册第17章 函数及其图象17.4 反比例函数1. 反比例函数当堂达标检测题

17.4　反比例函数

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知识点1　反比例函数的概念

1.(2022江苏苏州草桥中学期中)下列函数中,变量 y是 x 的反比例函数的是              (　　)

A.y=　　　B.y=　　　C.y=　　　D.y=3x

2.【易错题】(2022湖南衡阳弘扬中学期中)已知y=(k-2)是反比例函数,那么k的值是　　　　. 

知识点2　反比例函数的图象与性质

3.(2022云南中考)反比例函数y=的图象位于 (　　)

A.第一、三象限　　　B.第一、四象限

C.第二、三象限　　　D.第二、四象限

4.(2021山西期末)关于反比例函数y=-,下列说法不正确的是 (　　)

A.函数图象经过点(3,-4)

B.函数图象关于原点成中心对称

C.函数图象位于第一、三象限

D.当x<0时,y随x的增大而增大

5.(2022河南南阳卧龙期中)已知点A(-1,y1),B(2,y2),C(1,y3),D(3,-2)都在双曲线y=上,则y1,y2,y3的大小关系是              (　　)

A.y1>y2>y3　　　B.y1>y3>y2

C.y3>y2>y1　　　D.y2>y1>y3

6. (2022海南海口十中期中)在同一坐标系中,函数y=和y=kx+3(k≠0)的图象大致是(　　)

A      B     C    D

7.【分类讨论思想】(2022河南南阳桐柏思源实验学校第二次月考)已知点A(a,y1),B(a+1,y2)在反比例函数y=(m是常数)的图象上,且y1<y2,则a的取值范围是              (　　)

A.a<0　　　B.a>0　　　C.0<a<1　　　D.-1<a<0

8.【新独家原创】已知m=,则反比例函数y=的图象分布在第　　　　象限. 

9.【教材变式·P56T1变式】(2022辽宁大连模拟)某长方体的体积为

1 000 cm3,长方体的高h(单位:cm)随底面积S(单位:cm2)的变化而变化,则h关于S的函数关系式为　　　　,它是　　　　函数. 

10.(2022内蒙古呼和浩特中考)点(2a-1,y1)、(a,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,若0<y1<y2,则a的取值范围是　　　　. 

知识点3　确定反比例函数的解析式

11.(2022江苏苏州星湾中学期中)若点A(3,-6)在反比例函数y=的图象上,则k的值为(　　)

A.-18　　　B.18　　　C.-2　　　D.2

12.(2022海南中考)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-3),则它的图象也一定经过的点是              (　　)

A.(-2,-3)　　　B.(-3,-2)

C.(1,-6)　　　D.(6,1)

13.【跨学科·物理】(2022河南南阳新野期中)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,图象如图所示,当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应              (　　)

A.不小于 m3　　　B.小于 m3

C.不小于 m3　　　D.小于 m3

14.(2022福建泉州安溪期中)如图,在平面直角坐标系中,点P(1,4)、Q(m,n)在函数y=(k>0,x>0)的图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A、B,过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为C、D,DQ交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积              (　　)

A.逐渐增大　　　    B.逐渐减小

C.先减小后增大　　　D.先增大后减小

15.(2022福建中考)已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则实数k的值可以是　　　　.(只需写出一个符合条件的实数) 

16.(2022湖北仙桃中考)在反比例函数y=的图象的每一支上,y都随x的增大而减小,且整式x2-kx+4是一个完全平方式,则该反比例函数的解析式为　　　　. 

17.【一题多变】(2022四川凉山州中考)如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,若△OAB的面积为3,则k=　　　　. 

[变式一](2022湖南怀化中考)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图象于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S△BCD=5,则a的值为              (　　)

A.8　　 　B.9      C.10　　　D.11

[变式二](2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,点A是反比例函数y=(x<0)图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点D,且D为线段AB的中点.若点C为x轴上任意一点,且△ABC的面积为4,则k=　　　　. 

18.(2022河南南阳镇平期中)已知:反比例函数y=的图象经过A(2,-4).

(1)求k的值.

(2)这个函数的图象在哪几个象限?y随x的增大怎样变化?

(3)画出函数的图象.

(4)点B(-2,4),C(-1,5)在这个函数的图象上吗?

19.(2022山东聊城实验中学期中)一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t=,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m,0.5).

(1)求k和m的值;

(2)若行驶速度不得超过50 km/h,则汽车通过该路段最少需要多少时间?

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20.【一题多解】(2022湖北武汉中考,6,)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,且x1<0<x2,则下列结论一定正确的是              (　　)

A.y1+y2<0　　　B.y1+y2>0

C.y1<y2　　  　D.y1>y2

21.(2022浙江舟山中考,15,)如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点C与原点O重合,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点B的坐标为(4,3),AB与y轴平行,若AB=BC,则k=　　　　. 

22.(2022江苏常州中考,23,)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,连结OC.已知点B(0,4),△BOC的面积是2.

(1)求b、k的值;

(2)求△AOC的面积.

23.【新考法】(2022河南中考,18,)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,4)和点B,点B在点A的下方,AC平分∠OAB,交x轴于点C.

(1)求反比例函数的表达式;

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线;(要求:不写作法,保留作图痕迹)

(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连结CD,求证:CD∥AB.

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24.【模型观念】(2022内蒙古赤峰中考)

阅读下列材料.

定义运算:min|a,b|,当a≥b时,min|a,b|=b;当a<b时,min|a,b|=a.

例如:min|-1,3|=-1;min|-1,-2|=-2.

完成下列任务.

(1)①min|(-3)0,2|=　　　　; 

②min|,-4|=　　　　. 

(2)如图,已知反比例函数y1=和一次函数y2=-2x+b的图象交于A、B两点.当-2<x<0时,min=(x+1)(x-3)-x2,求这两个函数的解析式.

答案全解全析

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1.C　根据反比例函数的定义,知符合题意的只有C.

2.答案　-2

解析　由题意得解得k=-2.

3.A　反比例函数y=中,k=6>0,所以图象位于第一、三象限,故选A.

4.C　A.把x=3代入y=-得,y=-4,所以函数图象经过点(3,-4),故本选项正确;B.反比例函数的图象的两个分支关于原点成中心对称,故本选项正确;C.k=-12<0,所以函数图象位于第二、四象限,故本选项错误;D.k=-12<0,所以图象位于第二、四象限,且在每个象限内,y随x增大而增大,所以当x<0时,y随x的增大而增大,故本选项正确.故选C.

5.A　∵点D(3,-2)在双曲线y=上,

∴k=3×(-2)=-6<0,

∴反比例函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,

∴A(-1,y1)在第二象限,B(2,y2),C(1,y3)在第四象限,

∴y1>0,0>y2>y3,∴y1>y2>y3.故选A.

6.C　分两种情况讨论:

①当k>0时,函数y=kx+3的图象在第一、二、三象限,函数y=的图象在第一、三象限;

②当k<0时,函数y=kx+3的图象在第一、二、四象限,函数y=的图象在第二、四象限.

只有C选项符合,故选C.

7.D　∵m2+1>0,

∴反比例函数y=(m是常数)的图象在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.

①当A(a,y1),B(a+1,y2)在同一象限时,∵y1<y2,

∴a>a+1,此不等式无解;

②当点A(a,y1),B(a+1,y2)在不同象限时,∵y1<y2,

∴a<0,a+1>0,解得-1<a<0.

故选D.

8.答案　一、三

解析　∵m==-2,∴m+3=-2+3=1>0,

∴函数y=的图象分布在第一、三象限.

9.答案　h=;反比例

解析　根据长方体的体积等于底面积乘高,可知函数关系式为h=,它是反比例函数.

10.答案　a>1

解析　因为k>0,所以反比例函数图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小.由0<y1<y2得,0<a<2a-1,解得a>1.故答案为a>1.

11.A　将点A(3,-6)代入y=得k=3×(-6)=-18,故选A.

12.C　∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-3),∴k=2×(-3)=-6,

∵(-2)×(-3)=6≠-6,(-3)×(-2)=6≠-6,1×(-6)=-6,6×1=6≠-6,

∴它的图象一定还经过的点是(1,-6),故选C.

13.C　设气球内气体的气压p(kPa)与气体体积V(m3)之间的关系式为p=(k≠0),

∵图象过点(1.6,60),∴k=96.∴p=,

当p=120时,V=.∵图象在第一象限,p随V的增大而减小,故气球内的气压小于或等于120 kPa时,体积应大于或等于 m3,即气球的体积应不小于 m3.故选C.

14.A　由题意得AC=m-1,CQ=n,则S四边形ACQE=AC·CQ=(m-1)n=mn-n.

∵P(1,4)、Q(m,n)在函数y=(k>0,x>0)的图象上,∴mn=k=4.

∴S四边形ACQE=AC·CQ=4-n,∵m>1时,n随m的增大而减小,

∴S四边形ACQE=4-n随m的增大而增大.故选A.

15.答案　-3(答案不唯一)

解析　∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴k<0,∴k的值可以是-3.(答案不唯一)

16.答案　y=

解析　∵整式x2-kx+4是一个完全平方式,∴k=±4,

∵反比例函数y=的图象的每一支上,y都随x的增大而减小,

∴k-1>0,解得k>1,∴k=4,∴k-1=4-1=3,

∴反比例函数的解析式为y=.

17.答案　6

解析　∵△OAB的面积为3,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,

∴OB·AB=3,即OB·AB=6,∴k=6.

[变式一]D　设B的横坐标为m,则B,

∵BD⊥y轴,∴S△BCD=m·=5,解得a=11,故选D.

[变式二]答案　-4

解析　如图,连结OA,OB,

∵AB⊥y轴,∴AB∥x轴,

∴S△ABC=S△AOB,

∵△ABC的面积为4,

∴S△AOB=4.

∵D为线段AB的中点,

∴S△AOD=S△BOD,∴S△AOD=2.

根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得k=-4.

18.解析　(1)∵反比例函数y=的图象经过点A(2,-4),∴k=-4×2=-8.

(2)由(1)知k=-8,∴反比例函数的解析式为y=-,∵-8<0,∴函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.

(3)函数图象如图.

(4)∵-2×4=-8,-1×5=-5≠-8,∴点B在函数图象上,点C不在函数图象上.

19.解析　(1)由题意得,函数t=的图象经过点(40,1),∴1=,解得k=40,∴函数关系式为t=,把(m,0.5)代入t=,得0.5=,解得m=80.故k的值为40,m的值为80.

(2)把v=50代入t=,得t==0.8,∵t随v的增大而减小,∴汽车行驶速度不超过50 km/h时,通过该路段最少需要0.8小时.

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20.C　解法一:∵点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=的图象上的两点,∴x1y1=x2y2=6.

∵x1<0<x2,∴y1<0<y2.故选C.

解法二:反比例函数y=的大致图象如图所示.

∵x1<0<x2,∴点A在第三象限,点B在第一象限,∴y1<y2.

21.答案　32

解析　由点B的坐标为(4,3),可得OB==5,∵AB∥y轴,AB=BC,∴A点的坐标为(4,8),∴k=4×8=32.

22.解析　(1)∵一次函数y=2x+b的图象过点B(0,4),∴b=4,∴一次函数的解析式为y=2x+4,∵OB=4,△BOC的面积是2,∴OB·xC=2,即×4×xC=2,∴xC=1,把x=1代入y=2x+4,得y=6,∴C(1,6),∵点C在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴k=1×6=6.

(2)把y=0代入y=2x+4,得2x+4=0,解得x=-2,∴A(-2,0),∴OA=2,

∴S△AOC=×2×6=6.

23.解析　 本题将尺规作图与反比例函数综合起来进行考查.

(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,4),∴k=2×4=8.

故反比例函数的表达式为y=.

(2)如图,直线EF即为所作.

(3)证明:如图,∵AC平分∠OAB,∴∠OAC=∠BAC.

∵AC的垂直平分线交OA于点D,

∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA.

∴∠DCA=∠BAC.

∴CD∥AB.

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24.解析　 (1)①1.②-4.

(2)(x+1)(x-3)-x2=-2x-3,

∵当-2<x<0时,min=-2x+b,

∴-2x+b=-2x-3,∴b=-3,

∴y2=-2x-3,当x=-2时,y2=1,∴A(-2,1).

将A(-2,1)代入y1=中,得k=-2,∴y1=-.