中考数学全面突破：第十九讲　概 率 含解析答案

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第十九讲　概 率
命题点分类集训
命题点1　事件的分类
【命题规律】1.事件的分类主要考查事件的判断，确定事件分为必然事件(概率为1)和不可能事件(概率为0)，随机事件发生概率介于 0和1 之间.2.考查形式：①下列事件是…事件的是；②下列说法正确的是；③…事件是….
【命题预测】事件的分类是研究概率知识的基础，值得关注．
1.在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，这一事件是(　　)
A. 不确定事件　　　B. 不可能事件 C. 可能性大的事件 D. 必然事件
1. D　【解析】在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，是一定发生的事件，因而是必然事件，故选D.
2.下列事件中，是必然事件是(　　)
A. 两条线段可以组成一个三角形 B. 400人中有两个人的生日在同一天
C. 早上的太阳从西方升起 D. 打开电视机，它正在播放动画片
2. B　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
两条线段组成一个三角形是不可能事件
×
B
400人中有两个人的生日在同一天，此事件一定发生，是必然事件
√
C
早上的太阳从西方升起是不可能事件
×
D
打开电视机，它正在播放动画片是随机事件
×
3.下列说法中，正确的是(　　)
A. 不可能事件发生的概率为0 B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
3. A　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
不可能事件指一定不会发生的事件，其发生的概率为0
√
B
随机事件指有可能发生，也可能不发生的事件，发生的概率为0～1
×
C
概率很小的事情可能发生也可能不发生，发生的可能性较小，但不是不可能发生
×
D
投掷一枚质地均匀的硬币100次，每一次正面朝上的概率均为，正面朝上的次数不确定
×
命题点2　一步概率计算
【命题规律】1.主要考查概率计算公式P(A)＝(m 表示满足事件A的可能结果数，n表示所有可能结果数)的应用，只需一步便可解决.2.解决此类问题，首先找准所有可能发生的结果数，再找准事件A发生的可能结果数，最后应用概率公式直接运算，注意事件A的可能结果数要不重不漏，避免出错．
【命题趋势】一步概率计算结合一些简单的游戏设计进行计算，是常考的基础概率计算．
4.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是(　　)
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
4. A　【解析】随机选取一个数字，共有10种等可能结果，能打开密码锁的结果只有一种，所以一次就能打开密码锁的概率是.
5.已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其他都相同，若随机摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. D　【解析】由概率的意义可知：袋中球的总数＝红球的个数÷摸到红球的概率，即袋中球的总个数是2÷＝8(个)．
6.如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________．
6. 　【解析】由题意知，C，D，F三点可与A，B构成等腰三角形，E点不可以，则概率为.


第6题图 第7题图
7.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是________．
7. 　【解析】∵黑色地砖有2块，白色地砖有3块，且小球停在每块地砖上的可能性相同，∴小球停在白色地砖上的概率为.
8.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．
8. 　【解析】从五个图形中任取一个，则共有5种等可能的结果，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种，故其概率为.
命题点3　树状图或列表法计算概率
【命题规律】1.这类题的考查与实际生活比较贴近，命题背景一般有：①摸球游戏(分两次摸球或从两个袋子中分别摸球)；②掷骰子游戏(两次求点数之和等)；③抽卡片游戏；④和其他知识相结合如物理电路图.2.试题解法有固定的模式：主要是利用画树状图或列表法将所有等可能结果不重不漏地列举出来，使所有等可能结果清晰呈现，进而根据题设条件选择满足要求的事件的可能结果，最后再运用概率公式求解即可．
【命题趋势】用树状图或列表法计算概率主要考查两步以上概率计算的方法，是概率计算命题的一大趋势．
9.一个盒子装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为(　　)
A. B. C. D.
9. C　【解析】画树状图分析如下：红1、红2、白1、白2、白3，

由树状图可知，共有20种均等可能的结果，其中取到一红一白的结果有12种，所以P(一红一白)＝＝.故选C.
10.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是(　　)
A. B. C. D.
10. B　【解析】列表如下：

第一次第二次　　　积
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
共有36种等可能情况，其中积为奇数的有9种，所以P(积为奇数)＝＝.
11.如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是________．
11. 　【解析】画树状图如解图：





共有60种等可能结果，符合要求的结果是12种，故概率为＝.
12.从数－2，－，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是________．
12. 　【解析】画树状图如下：
第
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中k＝mn为正的有2种，当k＝mn是正数时，正比例函数y＝kx的图象经过第一、第三象限．∴P＝＝.
13.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用表示)的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．
(1)请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；
(2)求选手A晋级的概率．
13. 解：(1)用树状图表示选手A获得三位评委评定的各种可能的结果，如解图：
　　　　　
由树形图可知，选手A一共能获得8种等可能的结果，这些结果的可能性相等．
(2)由(1)中树状图可知，符合晋级要求的结果4种，
∴P(A晋级)＝＝.

14.A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2、4、6，B中两张分别写有3、5.它们除数字外没有任何区别．
(1)随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
14. 解：(1)P(抽到数字为2)＝.
(2)游戏规则不公平，理由如下．
画树状图表示所有可能结果，如解图：


由图知共有6种等可能结果，其中两数之积为3的倍数的有4种．
∴P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝＝
∴游戏规则不公平．

15.在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的卡片中随机抽取一张．

(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；(卡片用A，B，C，D表示)
(2)我们知道，满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
15. 解：(1)列表法如下：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

或画树状图如下：

(2)在A中，22＋32≠42；在B中，32＋42＝52；在C中，62＋82＝102；在D中52＋122＝132，
则A中正整数不是勾股数，B，C，D中的正整数是勾股数．
∴P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)＝＝.
命题点4　统计与概率结合
【命题规律】此类题将概率和统计结合，一般为2～3问，第1问通常考查统计知识，最后1问涉及列表或树状图法计算概率，有时还会涉及到游戏的公平性.
【命题预测】统计与概率都是与日常生活结合紧密，联系实验生活，是全国命题趋势之一，值得关注．
16.为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
(1)求此次调查中接受调查的人数；
(2)求此次调查中结果为非常满意的人数；
(3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．
16. 解：(1)由图知，满意20人，占调查人数的40%.
∴此次调查中接受调查的人数为：20÷40%＝50(人)．
(2)∵非常满意的人数占调查人数的36%，
∴非常满意的人数为：50×36%＝18(人)．
(3)画树状图如下：


∴市民均来自甲区的概率为：＝.


中考冲刺集训
一、选择题
1.在英文单词“parallel”(平行)中任意选择一个字母“a”的概率为(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
2.下列说法正确的是(　　)
A. 为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B. 为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
3.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6.若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x－4|，则其结果恰为2的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5.随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
6.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记．掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是________．
7.已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别)，如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图，在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是________．
8.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是________．
9.已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，(，)，(－5，－)，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝图象上的概率是________．
三、解答题
10.已知反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象交于点A(－3，m)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果点M的横、纵坐标都是不大于3的正整数，求点M在反比例函数图象上的概率．








11.一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．
(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；
(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．









12.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏．游戏规则如下：
①将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关)；
②两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10，此时“点数”之和就是“最终点数”；若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0；
③游戏结束前双方均不知道对方“点数”；
④判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负．
现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7.
(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为________；
(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率．







13.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如下尚不完整的统计图表.
评估成绩n(分)
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n<90
B

70≤n<80
C
15
n<70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
(1)求m的值；
(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；(结果用度、分、秒表示)
(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．




答案与解析：
1. C　2. C
3. C　【解析】任意抛掷一次，朝上的面的点数有6种等可能的结果，其中满足|x－4|＝2的有2和6两种，所以所求概率为＝.
4. A　【解析】从这5张卡片中，随机抽取3张，不同的抽法有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中抽到的三个数字作为边长能构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，共3种，则P(能构成三角形)＝.
5. B　【解析】∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5种情况，如解图所示，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是.
第5题解图
6. 　【解析】抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面有1，2，3，4，5，6这6种均等的结果，其中是3的倍数只有3和6两个，∴P(3的倍数)＝＝.
7. 　【解析】棕色糖果占总数的百分比为1－(20%＋15%＋30%＋15%)＝20%.绿色糖果或棕色糖果占总数的百分比为30%＋20%＝50%，∴取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率＝50%，即.
8. 　【解析】本题主要考查了古典概型中的概率问题．做此类型题目注意放回和不放回的区别，列表或画树状图都可解决此类问题．本题列表如下：

红
黄
黄
红
红红
红黄
红黄
黄
黄红
黄黄
黄黄
黄
黄红
黄黄
黄黄
由上表可知：在两次摸取过程中一共有9种等可能性，其中两次都是黄球的可能性有4种，所以两次摸出球都是黄球的概率为.
9. 　【解析】先将各点分别代入反比例函数解析式中，即y＝＝－1≠1，y＝≠2，y＝＝，y＝＝－，所以(，)，(－5，－)这两个点在反比例函数y＝的图象上，因此，所求的概率为＝.
10. 解：(1)把A(－3，m)代入y＝x＋2中，得m＝－3＋2＝－1，
∴A(－3，－1)，
把A(－3，－1)代入y＝中，得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)由题意列表如下：

1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
由上可知，共有9种等可能的结果，其中在反比例函数图象上的只有(1，3)与(3，1)两种结果，
∴点M在反比例函数图象上的概率P＝.
11. 解：(1)所有可能的两位数用列表法列举如下表：

　　　个位数
十位数　　　
1
4
7
8

1
11
14
17
18

4
41
44
47
48

7
71
74
77
78

8
81
84
87
88

(2)由(1)知，所有可能的两位数共有16个，即16种等可能结果，其中算术平方根大于4且小于7，即大于16且小于49的两位数共6种等可能结果：17，18，41，44，47，48，
则所求概率P＝＝.
12. 解：(1).
(2)画树状图如解图，
第12题解图
或列表如下：

甲　　　乙
4
5
6
7
4

(4，5)
(4，6)
(4，7)
5
(5，4)

(5，6)
(5，7)
6
(6，4)
(6，5)

(6，7)
7
(7，4)
(7，5)
(7，6)

由树状图或列表法可以得出，所有可能出现的结果共有12种，他们的“最终点数”如下表所示：

甲
9
9
9
10
10
10
0
0
0
0
0
0
乙
10
0
0
9
0
0
9
10
0
9
10
0
　　　　(7分)
比较甲、乙两人的“最终点数”，可得P(乙获胜)＝.
13. 解：(1)由统计图表知，评定为C等级的有15家，占总评估连锁店数的60%，
则m＝15÷60%＝25.
(2)由题意知B等级的频数为25－(2＋15＋6)＝2，
则B等级所在扇形的圆心角大小为
×360°＝28.8°＝28°48′.
(3)评估成绩不少于80分的为A、B两个等级的连锁店．A等级有两家，分别用A1、A2表示；B等级有两家，分别用B1、B2表示，画树状图如下：
第13题解图

由树状图可知，任选2家共有12种等可能的情况，其中至少有一家是A等级的情况有10种．
所以，从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家，其中至少有一家是A等级的概率是P＝＝.