中考数学全面突破：第十三讲　四边形 含解析答案

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第十三讲　四边形
命题点分类集训
命题点1　平行四边形的判定与计算
【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．
【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点．
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(　　)
A. OE＝DC　　　　 　　B. OA＝OC C. ∠BOE＝∠OBA D. ∠OBE＝∠OCE
1. D


第1题图 　第2题图

2. 如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(　　)
A. 1　　　　　B. 2　　　　　C. 3　　　　　D. 4
2. C　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴CB＝MC＝2，∴AD＝BC＝2，∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5，∴DM＝DC－MC＝3.
3. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
3. AD∥BC(答案不唯一)


第3题图 第4题图 第5题图
4. 如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．

4. 1＜a＜7　【解析】如解图，对角线AC，BD相交于点O，则OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，在△OAD中，OA－OD＜AD＜OA＋OD，即1＜a＜7.
5. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．
5. 50°
6. 如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．

6. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥FC.
∵F是BC的中点，
∴FC＝BC＝AD，
∵DE＝AD，∴FC＝DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)

解：如解图，过点D作DH⊥BC于点H.
由(1)知四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，AB＝3，AD＝4，
∴BC＝4，CD＝3，∠BCD＝60°，
在Rt△DHC中，HC＝DC·cos∠HCD＝，
DH＝DC·sin∠HCD＝，
∵F是BC的中点，
∴FC＝2，
∴FH＝FC－HC＝2－＝，
在Rt△DFH中，由勾股定理得DF＝＝＝，
∴CE＝.
命题点2　矩形的判定与计算
【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．
【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一．
7. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(　　)
A. △AFD≌△DCE B. AF＝AD C. AB＝AF D. BE＝AD－DF
7. B　【解析】逐项分析如下表：
选项
逐项分析
正误
A
∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠C＝90°＝∠AFD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE(AAS)
√
B
只有当∠ADF＝30°时，才有AF＝AD成立
×
C
由△AFD≌△DCE可知，AF＝DC，∵矩形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝AF
√
D
∵△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，∴BE＝BC－CE＝AD－DF
√

8. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________．
8. 2



第7题图 第8题图 第9题图
9. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．
9. 3　【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD＝x，由题知，AB＝x＋2，又∵矩形ABCD的面积为15，则x(x＋2)＝15，得到x2＋2x－15＝0，解得，x1＝－5(舍) , x2＝3，∴AD＝3.
10. 如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线AF交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
10. (1)证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
∴△EAF≌△EDC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，
即D是BC的中点．
(2)解：四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形．

11. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

11. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC，∠DCB＝90°.
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥CD，GH∥BC，
∴四边形PFCH是矩形，
∴∠PHC＝∠PFC＝90°，PH＝CF，HC＝PF，
∴△PHC≌△CFP(SAS)．
(2)证明：由(1)知AB∥EF∥CD，
AD∥GH∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PGBF都是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，
∴四边形PEDH和四边形PGBF都是矩形，
∴S矩形PEDH＝S矩形PGBF.


命题点3　菱形的判定与计算
【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．
【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．
12. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　)
A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC
12. C　【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确．



第12题图 第13题图
13. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为(　　)
A. (0，0) B. (1，) C. (，) D. (，)


13. D　【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E作EF⊥OA，交OA于点F.由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE∽△EOF，∴＝，∵OC＝OA＝5，OE＝＝2，∴OF＝＝＝4，根据勾股定理可得EF＝＝＝2，点E的坐标为(4，2)，易得直线OE的函数解析式为y＝x，直线AD的函数解析式是y＝－x＋1，联立得：，解得，∴点P的坐标为(，)．
14. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．
14. 16　【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴AB＝2EF＝4，∴菱形ABCD周长是4AB＝16.



第14题图 第15题图

15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．

15. 24　【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×8×6＝24.
16. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．

16. 105°或45°　【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.
17. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形．

17. 证明：∵∠B＝90°，AC＝2AB，
∴sin∠ACB＝，
∴∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AF∥CD，
∴∠DCE＝∠FAE，∠AFE＝∠CDE，
又∵AE＝CE，
∴△AFE≌△CDE(AAS)，
∴AF＝CD，
又AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又AD＝CD，
∴四边形ADCF是菱形．


命题点4　正方形的判定与计算
【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．
【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．
18. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(　　)
A. B. 2 C. ＋1 D. 2＋1
18. B　【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝，∴EF＝＝，则正方形EFGH的周长为4×＝2.
19. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．
19. ∠BAD＝90°(答案不唯一)
20. 如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．
20. 　【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.



第20题图 　　第21题图

21. 如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．
21. 　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝＝，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴＝，即＝，∴FM＝.
22. 如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值；
(2)求线段AH的长．

22.

解：(1)由题意知EC＝2，AE＝，
如解图，过点E作EM⊥AC于点M，
∴∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴EM＝，
∴sin∠EAC＝＝.
(2)在△GDC与△EDA中，
，
∴△GDC≌△EDA(SAS)，∴∠GCD＝∠EAD，
又∵∠HEC＝∠DEA，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，
∴AH⊥GC，
∵S△AGC＝×AG×DC＝×GC×AH，
∴×4×3＝××AH，
∴AH＝.

命题点5　多边形及其性质
【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．
【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点．
23. 六边形的内角和是(　　)
A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080°
23. B
24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为(　　)
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
24. D　【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.
25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．
25. 6　【解析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n－2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n－2)·180°＝2×360°，解得n＝6.
26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．
26. 8　【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是＝8.
设正多边形的边数为n，正多边形的外角和为360°，内角和为(n－2)×180°，每个内角的度数为.
命题点6　图形折叠的相关证明与计算
【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．
【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．
27. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE
27. D
28. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(　　)
A. 2 B. C. D. 1
28. B



第28题图 　第29题图

29. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(　　)
A. 115° B. 120° C. 130° D. 140°
29. A　【解析】由折叠的性质知∠EA′B′＝∠A＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B′A′C＝50°，∴∠EA′D＝40°，∠DEA′＝50°，∴∠AEA′＝130°，∴∠AEF＝∠FEA′＝∠AEA′＝65°，∵AD∥BC，∴∠1＝180°－65°＝115°.
30. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
30. C　【解析】设∠ACD ＝x，∠B＝y，则根据题意可列方程组，解得y＝114°.



第30题图 第31题图 第32题图
31. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为________．
31. 13　【解析】由折叠的性质可得：CD＝AD，∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋AD＋BD＝BC＋BA＝6＋7＝13.
32. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．
32. 36°　【解析】∵在▱ABCD中，∠D＝∠B＝52°，∴∠AEF＝∠DAE＋∠D＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF＝108°，由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.
33.如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．

33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC，
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，
∴∠GEF＝∠FEC，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，
∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，
∴GE＝EC＝GF＝FC，
∴四边形CEGF为菱形．
(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，
此时CE最小，且CE＝CD＝3；
如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．
设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，
∴CE＝5，
所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.


34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．

34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，
∴∠AD′E＝∠B＝60°，
∴ED′∥BC，
又∵EC∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形，
∴ED′＝BC＝AD＝1，
∴DE＝ED′＝1，
又DC＝AB＝2，
∴EC＝1，
∴EC＝ED′，
∴四边形BCED′是菱形．
(2)

解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD，BD之长即为所求，
作DG⊥BA的延长线于点G，
∵∠DAB＝120°，
∴∠DAG＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠ADG＝30°，
在Rt△ADG中，AD＝1，
∴AG＝，DG＝，
∵AB＝2，
∴BG＝，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2＋DG2＝7，
∴BD＝，
即PD′＋PB的最小值为.
“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．










中考冲刺集训
一、选择题
1.关于▱ABCD的叙述，正确的是(　　)
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
2.设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是(　　)
A. a＞b　　　B. a＝b　　　C. a＜b　　　D. b＝a＋180°
3.如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)．则点E的坐标是(　　)
A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2)


第3题图 第4题图

4.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是(　　)
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
5.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8


第5题图 第6题图 第7题图

6.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(　　)
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 8 cm
7.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F2H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．


第9题图 第10题图 第11题图
11.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度.
12.如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．


第12题图 第13题图 第14题图
13.如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.
14.如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm.
15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；
④AG＋DF＝FG.
其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)


第15题图 　 第16题图

16.如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.
三、解答题
17.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.
求证：AF∥CE.











18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．










19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．







20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.
求证：(1)∠CEB＝∠CBE；
(2)四边形BCED是菱形．










21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．














22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
(1)求证：△ADF≌△ABE；
(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．















23.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．










24.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
(1)求证：四边形EFDG是菱形；
(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的长．





答案与解析：

1. C　2. B　3. C　4. B
5. A　【解析】∵E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝2，则菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×2＝2.
6. B　【解析】在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，BO＝DO，∵平行四边形ABCD的周长为26 cm，∴AB＋BC＝13 cm，又∵△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，∴AD－AB＝BC－AB＝3 cm，解得AB＝5 cm，BC＝8 cm，又AB⊥AC，E是BC的中点，∴AE＝BE＝CE＝BC＝4 cm.
7. B　【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：(9－x)2＝32＋x2，解得：x＝4.
8. D　【解析】逐项分析如下表：
序号
逐项分析
正误
①
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF
√
②
∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180°
√
③
由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS)
√
④
∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵＝，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝＝x，∴EH＝DH＝×x＝x，∴S△EDH＝EH2＝×x2＝x2. 在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝CF＝，则S△DHC＝CD·h＝×3x×＝x2，＝＝，即3S△EDH＝13S△DHC
√
对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S△FDH与已知条件＝联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S△EDH和S△DHC，继而求解．
9. 110°　【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB交对角线AC于点E，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.
10. 4.8　【解析】∵S菱形＝AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，∴DH＝＝4.8.

第11题解图
11. 15　【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝15°.

第12题解图
12. (＋2，1)　【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝BC＝1，CF＝DG＝，∴OF＝＋2，∴D(＋2，1)．
13. 75　【解析】∵多边形A1A2…A12是正十二边形，作它的外接圆⊙O，∴劣弧A10A3的度数＝5×＝150°，∴∠A3A7A10＝×150°＝75°.

第14题解图
14. 13　【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴ OA·OB＝60，∵AE2＝50, OA2＋OE2＝ AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13.
15. ①③④　【解析】由折叠的性质得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF＝BC＝10，BA＝BH＝6，∴HF＝BF－BH＝4，AF＝＝＝8，设GH＝x，则GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴GF＝5，∴AG＝3，同理在Rt△FDE中，由FD2＝EF2－ED2，得ED＝，EF＝，∴＝≠＝2，∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；S△ABG＝×3×6＝9，S△FGH＝×3×4＝6，∴＝＝，故③正确；∵AG＝3，DF＝AD－AF＝2，∴FG＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，故④正确．综上，答案是①③④.

第16题解图
16. 或　【解析】如解图，过N作NG⊥AB，交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝NG＝ cm，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝ cm，∴BE＝1 cm，AE＝2 cm，∵F为AE的中点，∴AF＝AE＝1 cm，在Rt△ABE和Rt△NGM中，，∴Rt△ABE≌Rt△NGM(HL)，∴BE＝GM，∠BAE＝∠MNG＝30°，∠AEB＝∠NMG＝60°，∴∠AFM＝90°，即MN⊥AE，在Rt△AMF中，∠FAM＝30°，AF＝1 cm，∴AM＝＝＝ cm，由对称性得到AM′＝BM＝AB－AM＝－＝ cm，综上，AM的长等于或 cm.
17. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

第17题解图
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
又∵BF＝DE，
∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE.
∴△ADF≌△CBE(SAS)．
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE.
18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，可求出∠DBC的度数，其正切值可求出．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴tan∠DBC＝tan30°＝.
(2)【思路分析】由BE∥AC，CE∥BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形．
19. (1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴MC∥AN，
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，
又∵∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△AED≌△CFB(AAS)，
∴DE＝BF＝4，
∴在Rt△BFN中，BN＝＝5.
20. (1)【思路分析】要证∠CEB＝∠CBE，结合CE∥DB，可得到∠CEB＝∠DBE，从而只需证明∠CBE＝∠DBE，结合△ABC≌△ABD即可得证．
证明：∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠CBE.
(2)证明：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，
由(1)得∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB，
∴CE＝BD，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵BC＝BD，
∴四边形BCED是菱形．
21. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD, ∠BAQ＋∠DAP＝90°＝∠DAB，
∵DP⊥AQ，
∴∠DAP＋∠ADP＝90°，
∴∠BAQ＝∠ADP.
在△DAP和△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ(AAS)，
∴AP＝BQ.
(2)解：①AQ和AP；
②DP和AP；
③AQ和BQ；
④DP和BQ.
【解法提示】①由题图直接得：AQ－AP＝PQ；
②∵△ABQ≌△DAP，
∴AQ＝DP，
∴DP－AP＝ AQ－AP＝PQ；
③∵△ABQ≌△DAP，
∴BQ＝AP，
∴AQ－BQ＝AQ－AP＝PQ；
④∵△ABQ≌△DAP，
∴DP＝AQ，BQ＝AP，
∴DP－BQ＝AQ－AP＝PQ.
22. (1)证明：在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE(SAS)．
(2)解：∵AB＝3，BE＝1，
∴AE＝，EC＝4，
∴ED＝＝5，
设AH＝x，EH＝y，
在Rt△AHE和Rt△AHD中，
，
解得，x＝1.8，y＝2.6，
∴tan∠AED＝＝＝＝.
23. (1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB＝AE＝AC，∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中
∵，
∴△AEC≌△ADB(SAS)．
(2)解：当四边形ADFC是菱形时，AC＝DF，AC∥DF，
∴∠BAC＝∠ABD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝45°，
又∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，
∴∠DAB＝90°，
又∵AB＝2，
由勾股定理可得：BD＝＝AB＝2，
在菱形ADFC中，DF＝AD＝AB＝2，
∴BF＝BD－DF＝2－2.
24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF＝EF，DG＝EG，∠AFD＝∠AFE，再由EG∥DC，可得∠EGF＝∠AFD，从而得出EG＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；
证明：由折叠的性质可得，EF＝FD，∠AEF＝∠ADF＝90°，

第24题解图
∠EFA＝∠DFA，EG＝GD.
∵EG∥DC，
∴∠DFA＝∠EGF，
∴∠EFA＝∠EGF，
∴EF＝EG＝FD＝GD，
∴四边形EFDG是菱形．
(2)【思路分析】由(1)可知EG＝EF，连接DE，则DE与GF相互垂直平分，证得Rt△FHE∽Rt△FEA，列比例式，结合FH＝GF得到EG、GF、AF的关系；
解：如解图，连接ED，交AF于点H，
∵四边形EFDG是菱形，
∴DE⊥AF，FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.
∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，
∴Rt△FEH∽Rt△FAE，
∴＝，即EF2＝FH·AF，
∴EG2＝GF·AF.
(3)【思路分析】把AG，EG代入(2)中的关系式，求得GF，AF的值，根据勾股定理求得AD，DE，再证Rt△ADF∽Rt△DCE，可求出EC，从而可求出BE的值．
解：∵AG＝6，EG＝2，EG2＝GF·AF，
∴(2)2＝(6＋GF)·GF，∴GF＝4，
∴AF＝10.
∵DF＝EG＝2，
∴AD＝BC＝＝4，
DE＝2EH＝2＝8.
∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
∴Rt△ADF∽Rt△DCE，
∴＝，即＝，
∴EC＝，
∴BE＝BC－EC＝AD－EC＝4－＝.