中考数学全面突破：第十一讲　三角形 含解析答案

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第十一讲　三角形
命题点分类集训
命题点1　三角形的三边关系
【命题规律】1.考查内容：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.考查形式：①已知三角形的两边，确定第三边的可能值；②判断所给的三条线段能否构成三角形．
【命题预测】三角形三边关系是学习三角形的基础，也是判断能否构成三角形的重要方法，需掌握．
1. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(　　)
A. 6　　　　　B. 3　　　　　C. 2　　　　　D. 11
1. A
2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　　)
A. 2 cm，3 cm，5 cm B. 7 cm，4 cm，2 cm
C. 3 cm，4 cm，8 cm D. 3 cm，3 cm，4 cm
2. D
3. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(　　)
A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7
3. C　【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确
命题点2　三角形的内角和及内外角关系
【命题规律】1.考查内容：①三角形内角和为180°；②三角形的一个外角等于与其不相邻两个内角之和.2.考查形式：①结合平行线求角度(选题可见平行线性质部分)；②利用三角形内外角关系求角度．
【命题预测】三角形内角和及三角形内外角关系是应用三角形求角度的重要方法，也是全国命题的方向．
4. 在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是 (　　)
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
4. C
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(　　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
5. B
6. 如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．
6. 38°　【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.
命题点3　三角形中的重要线段
【命题规律】1.考查内容：①三角形的角平分线；②三角形的中位线；③三角形边上的垂直平分线.2.考查形式：①利用三角形的角平分线结合内外角关系求角度；②利用三角形中位线与第三边的关系计算线段长；③利用角平分线性质计算三角形面积关系．
【命题预测】三角形中的重要线段是利用三角形研究线段长度、角度等问题的工具之一，倍受命题人青睐
7. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)
A. 三条高线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
7. D
8. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是(　　)
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
8. D　【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝AB，DF＝BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.




第8题图 第9题图
9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．
9. 4　【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE＝BC＝4.
10.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．

10. 4∶3　【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则＝＝.
命题点4　等腰三角形的相关计算
【命题规律】1.考查形式：①已知等腰三角形的一个角，求另外两个角(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；②已知等腰三角形的两条边长，求其周长(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；③等腰三角形等角对等边性质；④等腰三角形三线合一性质；2.三大题型均有设题，等腰三角形多在选填题中考查，也会在二次函数综合题中考查探究等腰三角形的存在性．
【命题趋势】由于等腰三角形独具一些特殊性质，解题过程中常会用到分类讨论思想，因此倍受命题人青睐．
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(　　)
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
11. A　【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.
12.已知实数x、y满足|x－4|＋＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对
12. B　【解析】∵|x－4|＋＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.
13.若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为________ cm.

13. 2　【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2(cm)．
命题点5　直角三角形的相关计算
【命题规律】1.考查内容：考查直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理.2.考查形式：①利用直角三角形性质计算；②利用勾股定理求边长；③含30°角的直角三角形的性质．
【命题预测】直角三角形性质的考查变化性较强，常与勾股定理一起考查，此种命题方式势必经常出现，常在二次函数综合题中考查探究直角三角形的存在性问题．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A. B. 4 C. 8 D. 4
14. D　【解析】∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝AB＝4，∴BC＝＝＝4.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15. A　【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，＝，解得x＝1，∴DE的长为1.




第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
16.如图，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝(　　)
A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5
16. D　【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3.在Rt△CED中，CD＝＝5.

17.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.
17. 50°　【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.
18.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．



18. 解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：
AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－ (14－x)2，

解得x＝9.
∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.
∵AD>0，
∴AD＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.


命题点6　与全等三角形有关的证明与计算
【命题规律】1.考查内容：全等三角形的判定和性质应用，其中判定的类型有：SSS，SAS，AAS，ASA及直角三角形全等特有的判定定理HL . 2.考查形式：①如图所示的几何图形中，共有全等三角形的对数；②请添加条件…，使两个三角形全等；③解答题中判断三角形全等或利用全等性质证明线段或角相等；④与四边形结合，利用四边形的性质证明三角形全等(具体选题见四边形部分)．
【命题预测】全等三角形的性质和判定是研究多个图形之间关系的基本知识，也是全国命题的主流方向，另外也会与二次函数综合题结合考查全等三角形的存在性问题．
19.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. BD＝CE D. BE＝CD
19. D
20. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有(　　)
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
20. C　【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．

21. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
21. 120°　【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.
22. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：____________，使△AEH≌△CEB.
22. AH＝CB(符合要求即可)　【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．





第19题图 第20题图 第21题图 第22题图
23. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.

23. 证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠FDB，
在△ACE和△FDB中，，
∴△ACE≌△FDB(SAS)，
∴AE＝FB.


24. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.

24. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
又∵E、F分别为边CD、AD的中点，
∴DE＝DF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(SAS)．




25. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使得AE＝CF，连接EF交AD于G，交BC于H.
求证：△AEG≌△CFH.

25. 证明：∵在▱ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，180°－∠BAD＝180°－∠BCD，即∠EAG＝∠FCH，
在△AEG和△CFH中，
，
∴△AEG≌△CFH(ASA)．

26. 如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．

26. (1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)解：AB∥DE，AC∥DF.
理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF.

27. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________°.

27. (1)证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌△Rt△BDA(HL)．
(2)20.
【解法提示】∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝90°－35°＝55°，由(1)知∠DAB＝∠ABC＝35°，∴∠CAO＝∠CAB－∠DAB＝20°.

28. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．

28. 解：∵AB∥CD，OD⊥CD，
∴OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OB＝OD.
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴CD＝AB＝20(米)．

29. 如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.
(1)求证：AD∥BC；
(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF＝4，求BC的长．

29. (1)证明：∵AB＝AC，AD平分∠CAE，
∴∠B＝∠ACB，∠CAD＝∠EAD＝∠CAE，
又∵∠CAE＝∠B＋∠ACB，
∴∠B＝∠EAD，
∴ AD∥BC.
(2)解：∵CG⊥AD，
∴∠CFA＝∠GFA＝90°，
在△ACF和△AGF中，
，
∴△ACF≌△AGF(ASA)，
∴AC＝AG，CF＝GF，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AG，
∴AF是△BCG的中位线，
∵AF＝4，
∴BC＝2AF＝8.

中考冲刺集训
一、选择题
1.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以为(　　)
A. 5　　　　　B. 6　　　　　C. 7　　　　　D. 8
2.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(　　)
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°



第2题图 第3题图
　　　　　
3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为(　　)
A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(　　)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个



第5题图 第6题图 第7题图
6. 如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　)
A. 50° B. 51° C. 51.5° D. 52.5°
7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于(　　)
A. B. C. 2 D.
8. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上

第8题图 第9题图

9. 如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为(　　)
A. 2＋2 B. 2＋ C. 4 D. 3
10. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(　　)
A. B. C. D. 不能确定
二、填空题
11.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝________度．



第11题图 第12题图 第13题图
12.如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2＝________．
13.如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．
14.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．
15.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
三、解答题
16.如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA;
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．






17.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.









18.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.








答案与解析：


第2题解图
1. A
2. B　【解析】如解图，设AC上的点为E，∵DE垂直平分AC，∴AD＝DC, ∴∠DCA＝∠A＝50°， ∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝100°.
3. A　【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2×1＝2，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×2＝1.
4. B　【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∴不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∴三角形的周长为10，故选B.

第5题解图
5. C　【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝BC＝4，∴AD＝＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．
6. D　【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.
7. B　【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝AB＝，故选B.
第7题解图
　　　第8题解图

8. D　【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.
9. A　【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝，在Rt△ACF中，AC＝＝＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝2＋2.
第9题解图
　　　第10题解图

10. B　【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝，AH＝＝.连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝.
11. 35
12. 54°
13. 13　【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AE＋EC＝8，∴EC＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.
14. 或　【解析】(1)如解图①所示，当P点靠近B点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝；(2)如解图②所示，当P点靠近C点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝.综上可得：AP长为 或.
第14题解图

15. 4　【解析】∵△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，AG＝2GD，∴由三角形的面积公式得S△ACG＝S△ACD＝4，又∵AE＝CE，∴S△CEG＝S△ACG＝2，同理S△BGF＝2，∴S阴影＝2＋2＝4.
16. (1)证明：在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA(SSS)．
(2)解：相等．理由如下：
由(1)得△ADB≌△BCA，
∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OBA ＝∠OAB，
∴OA＝OB.

第17题解图
17. 证明：连接CD，如解图，
∵ △ABC是直角三角形，AC＝BC，D是AB的中点，
∴ CD＝BD，∠CDB＝90°，
∴∠CDE＋∠CDF＝90°，∠CDF＋∠BDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴ △CDE≌△BDF(ASA)，
∴ DE＝DF.
18. 证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°，
在Rt△EAD中，ED2＝AD2＋AE2，
∴ED2＝AD2＋BD2，
又ED2＝EC2＋CD2＝2CD2，
∴2CD2＝AD2＋DB2.