中考数学全面突破：第四讲 方程（组）及其应用 含解析答案

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第四讲 方程(组)及其应用
命题点分类集训
命题点1　一次方程(组)及其应用
【命题规律】1.考查内容：①解一元一次方程；②解二元一次方程组；③一次方程(组)的实际应用.2.实际应用题背景主要有：购买分配类问题；3.三大题型均有设题，解答题居多．
【命题预测】一次方程(组) 及其应用是命题主流趋势之一，解答题考查一次方程(组)的解法应做到不丢分，实际应用问题会与不等式(组)结合，也应引起重视．
1.方程2x＋3＝7的解是(　　)
A. x＝5　　　B. x＝4　　　C. x＝3.5　　　D. x＝2
1. D　【解析】2x＋3＝7，2x＝4，x＝2，∴选项D正确．
2.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母， 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是(　　)
A. 2×1000(26－x)＝800x B. 1000(13－x)＝800x C. 1000(26－x)＝2×800x D. 1000(26－x)＝800x
2. C　【解析】本题要求螺钉和螺母配套，且1个螺钉需要配2个螺母，所以螺母的数量是螺钉的2倍. 不难得出，x名工人生产螺钉的个数为800x个，则(26－x)名工人生产螺母的个数是1000×(26－x)个，根据其等量关系得：1000×(26－x)＝2×800x，故选C.
3.有一根40 cm的金属棒，欲将其截成x根7 cm的小段和y根9 cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x、y应分别为(　　)
A. x＝1，y＝3 B. x＝4，y＝1 C. x＝3，y＝2 D. x＝2，y＝3
3. C　【解析】根据题意得：7x＋9y≤40，则x≤，∵40－9y≥0，且y是正整数，∴y的值可以是1或2或3或4.当y＝1时，x≤，则x＝4，此时，所剩的废料是：40－1×9－4×7＝3 cm；当y＝2时，x≤，则x＝3，此时，所剩的废料是：40－2×9－3×7＝1 cm；当y＝3时，x≤，则x＝1，此时，所剩的废料是：40－3×9－1×7＝6 cm；当y＝4时，x≤，则x＝0(舍去)．则符合题意的是：x＝3，y＝2.
4.为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有________台．
4. 16　【解析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为4(x＋5)台，根据两种电脑的台数共100台，列方程得4(x＋5)＋x＝100，解得x＝16台．
5.解方程组：.
5. 解：
解法一：
把①代入②，得2＝y＋1，则y＝1，
把y＝1代入①，得x－1＝2，
∴x＝3，
∴原方程组的解为.
解法二：
由②－①，得0＝y＋1－2，
∴y＝1.(1分)
把y＝1代入①，得x－1＝2，
∴x＝3，
∴原方程组的解为.

6.为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元，购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
(1)求A、B两种品牌的足球的单价；
(2)求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．
6. 解：(1)设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，
则有，
解得，
∴A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个．
(2)40×20＋100×2＝1000(元)．
∴总费用为1000元．


命题点2　一元二次方程及其应用
【命题规律】考查题型及形式：①一元二次方程解法常在选择题或解答题中考查，常考的解法是因式分解和配方法；②根的判别式一般在选择题和填空题中设题，求方程中某个参数的取值范围；③根与系数关系常为根据一元二次方程，在不求解方程根的情况下，利用方程根与系数的关系，求两根之和(积)或某个参数；④一元二次方程实际应用考查增长(下降)率．
【命题预测】一元二次方程的解法和实际应用是一种命题趋势；而根的判别式为2011版新课标选学内容，在练习中应逐渐渗透．
7.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　　)
A. (x－3)2＝14 B. (x－3)2＝4 C. (x＋3)2＝14 D. (x＋3)2＝4
7. A
8.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. B
9.一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　)
A. x1＝－1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝－2 C. x1＋x2＝3 D. x1x2＝2
9. C
10.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x－x1＋x2的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
10. D　【解析】由题意可得x－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即x－2x1＝1，所以原式＝x－2x1＋＝1＋2＝3.
11.方程＝2的解是________．
11. x＝5　【解析】方程两边平方得，x－1＝4，解得 x＝5，经检验，x＝5是原方程的解
12.若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
12. k＞－　【解析】∵一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝32－4×1×(－k)＞0，即9＋4k＞0，解得k＞－.
13.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．
13. 10%　【解析】设降价的百分率是x，则100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)，故这两次降价的百分率是10%.
14.解方程：2(x－3)2＝x2－9.
14. 解：原方程可化为2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0或x－9＝0，
∴x1＝3，x2＝9.
【一题多解】原方程可化为x2－12x＋27＝0，
这里a＝1，b＝－12，c＝27，
∵b2－4ac＝(－12)2－4×1×27＝36>0，
∴x＝＝＝，
∴原方程的根为x1＝3，x2＝9.

15.某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
(参考数据：＝1.1，＝1.2，＝1.3，＝1.4)
15. 解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
由题意得：2900(1＋x)2＝3509，
解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意舍去)．
答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为
3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)．
因为4245.89＜4250，
所以教育经费不能达到4250万元．
答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．
求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b.


命题点3　分式方程及其应用
【命题规律】考查形式：1.分式方程的解法主要考查可化为一元一次方程的分式方程；2.实际应用常考类型——行程问题(关系式中存在两个量的乘积等于第三量)；3.三大题型中均有设题，解答题居多．
【命题预测】分式方程的解法和实际应用的考查是一种主流命题趋势，做题时要熟练掌握解分式方程的步骤和实际应用常考类型的关系式．
16.方程＝3的解是(　　)
A. － B. C. －4 D. 4
16. D　【解析】本题考查解分式方程，原方程两边同时乘以x－1，得2x＋1＝3(x－1)，解得x＝4，把x＝4代入x－1＝3≠0，所以x＝4是原分式方程的根．
17.关于x的方程＝2＋无解，则m的值为(　　)
A. －5 B. －8 C. －2 D. 5
17. A　【解析】方程＝2＋转化为整式方程为(3x－2)＝2(x＋1)＋m，解得x＝4＋m，根据题意，方程无解，即是方程的增根是使得分母为0的根，令x＋1＝0，解得x＝－1，即x＝4＋m＝－1，解得m＝－5，故选A.
18.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5000 kg所用时间与乙搬运8000 kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运x kg货物，则可列方程为(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
18. B　【解析】甲每小时搬运x kg货物，则乙每小时搬运(x＋600)kg货物，甲搬运5000 kg货物所用时间为小时，乙搬运8000 kg货物所用时间为小时，根据等量关系“甲搬运5000 kg所用时间与乙搬运8000 kg所用时间相等”列方程：＝.
19.若关于x的方程－1＝0有增根，则a的值为________．
19. －1　【解析】将方程两边同时乘以x－1，得ax＋1－x＋1＝0，则(a－1)x＋2＝0，∵原方程有增根，∴x＝1，将x＝1代入(a－1)x＋2＝0中，得a－1＋2＝0，a＝－1.
20.解方程：－＝1.
20. 解：去分母，得x＋2－4＝x2－4，
移项、整理得x2－x－2＝0，
解方程，得x1＝2，x2＝－1，
经检验：x1＝2是增根，舍去；x2＝－1是原方程的根，
所以原方程的根是x＝－1.

21. ＋1＝.
21. 解：去分母得x－3＋x－2＝－3，
解得x＝1，
检验：x＝1时，x－2＝－1≠0，2－x＝2－1＝1≠0，
∴原方程的解为x＝1.

22.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校．乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
22. 解：(1)设乙骑自行车的速度为2x米/分，则甲步行的速度为x米/分，公交车的速度为4x米/分．
由题意列方程为：＋＋2＝ ，
解得： x＝150，
经检验得：当x＝150时，等式成立，
∴2x＝2×150＝300 ，
答：乙骑自行车的速度为300米/分．
(2)甲到达学校的时间为＋＝＋＝8，
∴乙8分钟内骑车的路程为：300×8＝2400(米)，
∴乙离学校还有3000－2400＝600(米)．
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．





中考冲刺集训
一、选择题
1.方程2x－1＝3x＋2的解为(　　)
A. x＝1　　　　B. x＝－1　　　　C. x＝3　　　　D. x＝－3
2.在解方程＋x＝时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(　　)
A. 2x－1＋6x＝3(3x＋1) B. 2(x－1)＋6x＝3(3x＋1)
C. 2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D. (x－1)＋6x＝3(x＋1)
3.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是(　　)
A. a＞0 B. a＝0 C. c＞0 D. c＝0
4.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为(　　)
A. 4，－2 B. －4，－2 C. 4，2 D. －4，2
5.已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(　　)
A. m＝1，n＝－1 B. m＝－1，n＝1
C. m＝，n＝－ D. m＝－，n＝
6.为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是(　　)
A. B. C. D.
7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得(　　)
A. 10(1＋x)2＝16.9 B. 10(1＋2x)＝16.9 C. 10(1－x)2＝16.9 D. 10(1－2x)＝16.9
8.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(　　)
A. x(x－1)＝45 B. x(x＋1)＝45 C. x(x－1)＝45 D. x(x＋1)＝45
二、填空题
9.方程组的解是________．
10.方程 ＝的解是________．
11.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为________．
12.方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为________．
13.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
14.解方程：＋＝1.




15.世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．









16. A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．










17.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．













18.某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？





1. D　2. B
3. D　【解析】该方程是一元二次方程，则有a≠0，该一元二次方程根的判别式为b2－4ac＝16－4ac，要使原方程一定有实数根，只需b2－4ac≥0即可．A选项中a＞0，若c＞0，16－4ac可能小于0，不符合题意；B选项中一元二次方程a不能为0，不符合题意；C选项同A选项，不符合题意；D选项中当c＝0时，b2－4ac＝16＞0，符合题意，故选D.
4. D　5. A
6. D　【解析】∵男生有x人，女生有y人，学生人数是30，∴x＋y＝30.∵男生每人种3棵，女生每人种2棵，共种78棵，∴3x＋2y＝78.因此所列方程组是，故选D.
7. A　【解析】因为年平均增长率为x，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x)2＝16.9.
8. A　【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场，每队参加x－1场比赛，共比赛x(x－1)场比赛，根据题意列出一元二次方程x(x－1)＝45.故选A.
9.
10. x＝－1　【解析】化简＝得x－3＝4x，则－3x＝3，所以x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．
11. 19或21或23　【解析】解方程x2－8x＋15＝0，得x1＝3或x2＝5，等腰三角形的一边为9，则有这样几种情况：3、9、9；5、9、9；5、5、9，周长分别为21或23或19.
12. －3　【解析】∵ 2x－4＝ 0，解得 x＝2，把x＝2代入方程x2＋mx＋2＝0，解得 m＝－3.
13. m＞　【解析】一元二次方程两实数根之积为负，则方程应满足条件，即，解得 m＞.
14. 解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)得，
(x＋1)2－4＝x2－1，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，分母x－1＝0，
∴原方程无解．
15. 解：设《汉语成语大词典》的标价是x元，《中华上下五千年》的标价是y元，依题意得：
，
解得.
答：《汉语成语大词典》的标价是100元，《中华上下五千年》的标价是50元．
16. 解：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工(x－20)个零件．
依题意得：＝，
∴400x－8000＝300x，
∴100x＝8000，
解得x＝80.
经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：A型机器每小时加工80个零件．
17. 解：设上涨x元，
(4＋x－3)(500－×10)＝800，
x2－4x＋3＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
3×200%＝6，∵x＝3时，售价为7元，而7＞6，
∴应取x＝1，
∴x＝1即售价为5元时使超市每天的销售利润为800元．
18. 解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米，
由题意得：－＝4，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，又符合实际意义．
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
(2)由题意得，1200÷100＝12(天)，
又∵1200÷(12－2)＝120(米)，
∴×100%＝20%.
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.