中考数学突破5讲：中考突破之第三讲　圆的证明与计算 含解析答案

专题三　圆的证明与计算

阅读与理解

    圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．

类型一 切线的判定

    判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．

例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.

(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；

(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；

（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．

【自主解答】（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4；

（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA=∠CBA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC=90°，

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC是⊙O的切线．

变式训练

1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；

（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），

∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，

∴AB=2AN=8，

∴由勾股定理可知：NB==，

∴B（，2）．

（2）连接MC，NC                                                 

∵AN是⊙M的直径，

∴∠ACN=90°，

∴∠NCB=90°，

在Rt△NCB中，D为NB的中点，

∴CD=NB=ND，

∴∠CND=∠NCD，

∵MC=MN，

∴∠MCN=∠MNC，

∵∠MNC+∠CND=90°，

∴∠MCN+∠NCD=90°，

即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的切线．

类型二 切线的性质

    已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．

例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.

(1)求证：∠A＝∠BDC；

(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．

【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．

【自主解答】 (1)如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，

∴∠BDC＋∠ODB＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.

∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.

(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.

∵∠A＝∠BDC，

∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.

即∠DMN＝∠DNM.

∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，

∴MN＝

变式训练

2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，

=

（1）求证：OA=OB；

（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．

解：（1）连接OC，

∵AB与⊙O相切于点C

∴∠ACO=90°，

由于=，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠A=∠B

∴OA=OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，

∴BC=AB=2，

∴sin∠COB==，

∴∠COB=60°，

∴∠B=30°，

∴OC=OB=2，

∴扇形OCE的面积为：=，

△OCB的面积为：×2×2=2

∴S阴影=2﹣π

类型三 圆与相似的综合

   圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．

例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．

【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；

（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAF+∠FAC=90°，

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，

∴∠D+∠AOD=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）连接BF，

∴∠FAC=∠AOD，

∴△ACE∽△OCA，

∴，

∴，

∴AC=AE=，

∵∠CAE=∠CBF，

∴△ACE∽△BFE，

∴，

∴=，

∴EF=．

变式训练

3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.

(1)求证：∠BDC＝∠A；

(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．

(1)证明：如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，

即∠ODB＋∠BDC＝90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.

∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.

(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，

∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.

∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.

∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，

∴        

∴CE2＝DE·AE，

即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.