中考数学突破5讲：中考突破之第五讲　函数压轴题 含解析答案

专题五　函数压轴题

阅读与理解

函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．

类型一 动点函数图象问题

    此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．

例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB－BE向点E运动，同时点Q从点N，以相同的速度沿折线ND－DC－CE向点E运动，设△APQ的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（     ）

【分析】 由点Q从点N出发，沿折线ND­DC­CE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．

【自主解答】过点D作DF⊥AB于点F（如图1），则DF＝BC＝4．

∵AD＝5，DF＝4，∴AF＝3．

∴sin∠A＝＝，MF＝3－1＝2，BF＝AB－AF＝5－3＝2，DC＝BF＝2．

∵AD＝5，AN＝3，∴ND＝5－3＝2．

（1）当0≤t≤2时，点P在MF上，点Q在ND上（如图2），

此时AP＝AM＋MP＝1＋t，AQ＝AN＋NQ＝3＋t．

∴S＝AP•AQ•sin∠A＝(1＋t)(3＋t)×＝(t＋2)2―．当0≤t≤2时，S随t的增大而增大，且当t＝2时，S＝6．由此可知A、B选项都不对．

（2）当t＝5时，点P在MF上，点Q在ND上（如图3），

此时BP＝1，PE＝BC－BP－CE＝4－1－1＝2．

∴S＝AB•PE＝×5×2＝5．

∵6＞5，

∴选项D正确．

变式训练

1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为AB上的动点，DP⊥AB交折线A－C－B于点P.设AD＝x，△ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是(    )

2．(2016·烟台)如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条相互垂直的直径，点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图象大致是(　　)

类型二 二次函数的实际问题

解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．

例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；

（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．

【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，

将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，

解得：h=；

②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，

∵1.625＞1.55，

∴此球能过网；

（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：

，

解得：，

∴a=﹣．

变式训练

3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每

提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．

4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；

（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．

【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，

，

解得，，

∴x+x=600+=800，

答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；

（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，

y=（800+x）（50﹣）=42025，

∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，

答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．

类型三 二次函数的综合题

   二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．

例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；

（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；

（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；

（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．

【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．

把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，

解得k=4，

则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．

∵B的坐标是（3，0），

∴OB=3，

∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

过点N作NH⊥y轴，垂足是H．

∵∠NCB=90°，

∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．

∴a+3=﹣a2+2a+3，

解得a=0（舍去）或a=1，

∴N的坐标是（1，4）；

（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，

设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，

整理，得2t2﹣t=0，

解得t=0或．

∴﹣t2+2t+3的值为3或．

∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．

　变式训练

5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．

（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

解：（1）令x=0代入y=﹣x+3

∴y=3，

∴C（0，3），

令y=0代入y=﹣x+3

∴x=4，

∴B（4，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），

把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），

∴a=﹣，

∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，

∴顶点D的坐标为（1，）；

（2）当DP∥BC时，

此时四边形DEFP是平行四边形，

设直线DP的解析式为y=mx+n，

∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

∴m=﹣，

∴y=﹣x+n，

把D（1，）代入y=﹣x+n，

∴n=，

∴直线DP的解析式为y=﹣x+，

∴联立，

解得：x=3或x=1（舍去），

∴把x=3代入y=﹣x+，

y=，

∴P的坐标为（3，）；

（3）由题意可知：0≤t≤6，

设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，

把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，

得：，

∴解得，

∴直线AC的解析式为：y=x+3，

由题意知：QB=t，

如图1，当∠NMQ=90°，

∴OQ=4﹣t，

令x=4﹣t代入y=﹣x+3，

∴y=t，

∴M（4﹣t， t），

∵MN∥x轴，

∴N的纵坐标为t，

把y=t代入y=x+3，

∴x=t﹣2，

∴N（t﹣2， t），

∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，

∵MQ∥OC，

∴△BQM∽△BOC，

∴，

∴MQ=t，

当MN=MQ时，

∴6﹣t=t，

∴t=，

此时QB=，符合题意，

如图2，当∠QNM=90°时，

∵QB=t，

∴点Q的坐标为（4﹣t，0）

∴令x=4﹣t代入y=x+3，

∴y=9﹣t，

∴N（4﹣t，9﹣t），

∵MN∥x轴，

∴点M的纵坐标为9﹣t，

∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，

∴x=2t﹣8，

∴M（2t﹣8，9﹣t），

∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，

∵NQ∥OC，

∴△AQN∽△AOC，

∴=，

∴NQ=9﹣t，

当NQ=MN时，

∴9﹣t=3t﹣12，

∴t=，

∴此时QB=，符合题意

如图3，当∠NQM=90°，

过点Q作QE⊥MN于点E，

过点M作MF⊥x轴于点F，

设QE=a，

令y=a代入y=﹣x+3，

∴x=4﹣，

∴M（4﹣a，a），

令y=a代入y=x+3，

∴x=﹣2，

∴N（﹣2，0），

∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，

当MN=2QE时，

∴6﹣2a=2a，

∴a=，

∴MF=QE=，

∵MF∥OC，

∴△BMF∽△BCO，

∴=，

∴BF=2，

∴QB=QF+BF=+2=，

∴t=，此情况符合题意，

综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或　

6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

解：

（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．