人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

8.6.2 直线与平面垂直

学习目标

1. 理解直线与平面垂直的定义。
2. 理解直线与平面垂直的判定定理。
3. 理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。
4. 能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5. 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。

基础梳理

1. 一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
2. 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
3. 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理：定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
4. 如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
5. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。直线与平面所成的角的取值范围是。
6. 我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
7. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

随堂训练

1、已知,表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是(   )

A.若,,则  B. 若,,则
C.若,,则  D.若,,则 

2、如图，为正方体，下面结论错误的是(     )

A.平面  B.
C.平面  D.异面直线与所成的角为

3、如图，点N为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则(   )

A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线

D．，且直线是异面直线

4、如图,在正四棱锥中, 是的中点,点在内及其边界上运动,并且总有,则动点的轨迹与组成的图形是(   )

A.           B.
C.            D.

5、如图,在正方形中, 分别是和的中点, 是的中点.分别沿及将折起,使点重合,重合后的点记为,则下列结论成立的是(   )

A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面

6、如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是（   ）

A．  

B．平面

C．存在点E,使得平面平面 

D．三棱锥的体积为定值

7、如图，是的直径，C是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有(   )

A.4个          B．3个         C．2个         D．1个

8、在长方体中,底面是边长为的正方形,高为,则点到截面的距离是(   )

A.   B.   C.   D.

9、如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,
下列四个命题中：
①面PAC； ②面PBC；
③； ④面PBC．
其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号

10、已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．

① 过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②∥平面EFG；

③⊥平面；

④ 异面直线EF与所成角的正切值为；

⑤ 四面体的体积等于

11、已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为___________．

12、如图,在三棱台中,平面平面,.

(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

13、如图,在四棱锥中, 平面,,,,,,.

(1).求异面直线与所成角的余弦值;

(2).求证: 平面;

答案

随堂训练

1答案及解析：

答案：B

解析：对于选项A, 与还可以相交或异面;
对于选项C,还可以是;
对于选项D,还可以是或或与相交.

2答案及解析：

答案：D

解析：

A中因为，正确；B中因为，由三垂线定理知正确；
C中由三垂线定理可知，，故正确；
D中显然异面直线与所成的角为
故选：D．
A中因为可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为，所以即为异面直线所成的角，．
本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．

3答案及解析：

答案：B

解析： 作于，连接，

过M作于．

连，平面平面．

平面，

平面，平面，

与均为直角三角形．

设正方形边长为2，易知，

．，故选B．

4答案及解析：

答案：A

解析：取的中点,的中点.连接,则,∵在正四棱锥中, 在平面内的射影在上,且,∴,故.又,∴,∴平面,∴当点在上移动时,总有.故选A.

5答案及解析：

答案：B

解析：折起后, ,∴SG平面,故选B.

6答案及解析：

答案：C

解析：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；

在B中,F,M是底面正方形边的中点，由平面几何得，又底面 ，所以，,所以平面,故B正确；

在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．

在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥的体积为定值,故D正确．

7答案及解析：

答案：A

解析：∵是圆O的直径，

∴，∴是直角三角形；

又平面，

∴，；

∴是直角三角形；

又，∴平面，

∴，∴是直角三角形；

∴四面体的四个面中，直角三角形有4个。

故答案为：A.

8答案及解析：

答案：C

解析：点到截面的距离是,由可得解得.

9答案及解析：

答案：①②③

解析： ∵所在的平面,
∴,
又∵AB是的直径
∴,由线面垂直的判定定理,可得面PAC,故①正确；
又由平面PAC
∴,结合于F,
由线面垂直的判定定理,可得面PBC,故②正确；
又∵于E,结合②的结论
我们易得平面PAB
由平面PAB,可得,故③正确；
由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误；
故答案为：①②③
根据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案．

10答案及解析：

答案：①③④

解析：延长分别与的延长线交于连接交于H,设与的延长线交于P,连接交于I，交于M，连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故①正确；

与HG相交,故与平面EFG相交，所以②不正确；

∵,且AC与相交,所以平面，故③正确；

以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF与的夹角的正切值为，故④正确；

四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为，故⑤不正确。

故答案为：①③④

11答案及解析：

答案：

解析：作分别垂直于，平面，连，

知，，

平面，平面，

，．，

，

，为平分线，

，又，

．

12答案及解析：

答案：(1)延长相交于一点,如图所示,

因为平面平面,且,
所以平面,因此,
又因为,
所以为等边三角形,且为的中点,则,
所以平面.
(2)因为平面,
所以是直线与平面所成的角,
在中,,得.
所以直线与平面所成角的余弦值为.

13答案及解析：

答案：(1).如图,由已知,故或其补角即为异面直线与所成的角,

因为平面,所以.

在中,由已知,得,

故.

所以,异面直线与所成角的余弦值为.

   
(2).因为平面,直线平面,

所以,又因为,

所以,

又,

所以平面.