苏科版9.4 矩形、菱形、正方形课时作业

专题09 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最值问题压轴题三种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 定值问题】

例题：（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，是上异于和的任意一点，且于，于，则为_____．

【变式训练】

1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______

2．（2020秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为______．

3．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．

4．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；

(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

5．（2022春·四川德阳·八年级统考期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．

(1)当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．

(2)当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．

【考点二 最小值问题】

例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．10

【变式训练】

1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，则的最小值为（    ）

A．22 B．24 C．25 D．26

2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

3．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

4．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．

6．（2022秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，在菱形中，点是的中点，，，点为上一动点，求的最小值______．

7．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，则的最小值为______．

8．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点（不与A重合，可与重合），连接，若以为边向右侧作等腰直角，，连接，则的最小值为________．

9．（2022秋·陕西汉中·九年级校考期中）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．

10．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，满足∠EAF=60°，连接EF，且E，F不与B，C，D重合．

(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；

(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

11．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接．

(1)求证：．

(2)______．

(3)著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．

12．（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点D落在边上的点F处，为折痕．请回答下列问题：

(1)______；

(2)试求线段的长度；

(3)若点P为线段上的一个动点，连接和，求线段的最小值．

【考点三 最大值问题】

例题：（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022·山东菏泽·校考二模）如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ）

A．6 B．11 C． D．

3．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 __．

4．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为____．

5．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为______．

6．（2022秋·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）计算： =________；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是____________．

7．（2021秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F．

(1)求证：△GEF是等腰三角形

(2)求△GEF面积的最大值．