中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题七　圆 含解析答案

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专题七　圆【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为(　　)A．2  　　　　　                 B. C．2  　　　　　                D. 【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝＝＝，∴AB＝2.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是(　 　)A．4 m    B．5 m    C.  m    D．2 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝OB＝×(8÷2)＝4(m)．∴l＝＝2π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是2π÷2π＝(m)．∴圆锥的高是＝(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为(　　)A．9    B．18    C．36    D．72【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝＝＝3，所以MN＝6，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．在Rt△AED中，ED＝＝＝3，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝MN·AD＝×6×6＝18.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.  【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为(  B  )A．40°　　  B．50°     C．60°　　  D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为(  C  )A. 　　　　B．3　　　C．2　　　 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为(  A  )A．25°      B．50°      C．60°      D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为(  B  )A．15°       B．30°       C．60°       D．90° 5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为(  D  )A．6        B．7        C．8       D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，＝.则下列结论中不一定正确的是(  D  )A．BA⊥DA             B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE     D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，2，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是(  D  )A．2－π       B．4－πC．4－π          D．2－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为(  B  )A．13π cm  　 B．14π cm  C．15π cm     D．16π cm9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(    ) A.       B.       C.      D．2解：如图，连接OE，OF，ON，OG.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.∴四边形AFOE，FBGO都是正方形．∴AF＝BF＝AE＝BG＝2.∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG. ∴CM＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝(3－MN)2＋42.∴NM＝.∴DM＝3＋＝.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y＝x＋与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为  相切．11．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝40° .12．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为   .【解析】设点C落在圆上的点为C′，连结OA，OB，OC′，则OA＝OB＝.又∵AB＝2，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，同理∠OAC′＝45°，∴∠BAC′＝90°.∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠CAC′＝30°，∴点C运动的路线长为＝.故答案为.答案：13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域(图中的阴影部分)的面积为    cm2.【解析】在Rt△ABC中，BC＝＝(cm)，S扇形BCB1＝＝(cm2)，S△CB1A1＝×5×2＝5(cm2)，S扇形CAA1＝＝(cm2)，故S阴影部分＝S扇形BCB1＋S△CB1A1－S△ABC－S扇形CAA1＝＋5－5－＝(cm2).答案：三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.求证：(1)PE＝PD；(2)AC·PD＝AP·BC.  证明：(1)∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴＝.又∵AD∥OC，∴∠DAE＝∠COB，∴△AED∽△OBC，∴＝＝＝.∴ED＝2EP，∴PE＝PD.(2)∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴＝.∵PE＝PD，∴＝，∴AC·PD＝AP·BC.15．如图，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. (1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′，求证：AP＝BP′；(2)点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；(3)设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′. (2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝＝＝8.∵OA·TH＝AT·OT，即×10×TH＝×8×6，∴TH＝，即点T到OA的距离为.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D. (1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝＝π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝2－π.