高中数学高考18第一部分 板块二 专题五 解析几何 第4讲　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

第4讲　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

热点一　定点问题

解决圆锥曲线中的定点问题应注意

(1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；

(2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；

(3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向．

例1　(2019·济南模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)与椭圆C2：＋＝1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.

(1)求抛物线C1的方程；

(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

跟踪演练1　(2019·攀枝花模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.

(1)求抛物线C的方程和实数t的值；

(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

热点二　定值问题

求定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

例2　(2019·宜宾诊断)已知点M(x，y)与F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设N是圆E：x2＋y2＝9上位于第四象限的一点，过N作圆E的切线l0，与曲线C交于A，B两点．求证：△FAB的周长为10.

跟踪演练2　(2019·揭阳模拟)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，椭圆C的焦距为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A，B两点，且满足|OA|2＋|OB|2的值为常数(其中O为坐标原点)．

①求k的值以及这个常数；

②写出一般性结论(不用证明)：斜率为定值k的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，且满足|OA|2＋|OB|2的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？

热点三　存在性问题

存在性问题的求解策略

(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；

(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．

例3　(2019·济南模拟)设M是抛物线E：x2＝2py(p>0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为y＝x－1.

(1)求E的方程；

(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点．是否存在常数λ使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

跟踪演练3　(2019·凉山模拟)椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且·＝－1，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

真题体验

(2019·全国Ⅲ，文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

押题预测

已知抛物线E：y2＝4x，圆C：(x－3)2＋y2＝1.

(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；

(2)在(1)的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

A组　专题通关

1．(2019·西安质检)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0,1)，右焦点到直线x＝的距离为.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P.

2．(2019·沧州模拟)如图，菱形ABCD的面积为8.·＝－4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且＝2，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点(M与A在x轴同侧)．

(1)求椭圆的方程；

(2)求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．

3．(2019·中原名校联盟联考)已知点F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且＝(4,0)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上不同的两点，且|x1－x2|＝3，直线l平行于直线AB且与抛物线相切于点N，试问△ABN的面积是否是定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

B组　能力提高

4．(2019·泸州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P1(1,1)，P2(0，)，P3(－，－)，P4(，)中恰有三点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设R(x0，y0)是椭圆C上的动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．

(1)求椭圆C2的标准方程；

(2)设点P为椭圆C2上一点．

① 射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；

② 过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1·k2为定值．