高中数学高考23第四章 三角函数、解三角形 4 5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换

题型一　三角函数式的化简

1．化简：＝        .

2．化简：＝        .

3．化简：－2cos(α＋β)．

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

题型二　三角函数的求值

命题点1　给角求值与给值求值

例1 (1)(2018·阜新质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝        .

(2)(2018·赤峰模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝        .

命题点2　给值求角

例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.   D.或

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为        ．

引申探究

本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝        .

思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．

(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．

跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝        .

(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝        .

题型三　三角恒等变换的应用

例3 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

思维升华 三角恒等变换的应用策略

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．

跟踪训练2 (2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．

例 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

1．(2018·乌海质检)若sin＝，则cos 等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

2.等于(　　)

A．－  B.  C.  D．1

3．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)

A．－2  B．－1  C．－  D.

4．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)

A．5  B.  C.  D．2

6．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

7．若tan＝，则tan α＝________.

8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.

9．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝_____.

10．函数f(x)＝sin x－2sin2x的最小值是________．

11．(2018·抚顺模拟)已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，则α＋β＝____.

12．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

13．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝_____.

14．在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为________．

15．已知cos＝，<α<，则的值为________．

16．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．