高中数学高考30第五章 平面向量与复数 5 4 平面向量的综合应用

§5.4　平面向量的综合应用

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

2．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

3．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

概念方法微思考

1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？

2．如何用向量解决平面几何问题？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　 　)

(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　 　)

(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．

(　 　)

(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　 　)

题组二　教材改编

2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰直角三角形

3．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．

4．在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．

5．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．

6．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则·的最大值为________．

题型一　向量在平面几何中的应用

例1 (1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.

跟踪训练1 (1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·等于(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．－2  D．－1

例2 (1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．

跟踪训练2 (2019·沈阳质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

题型三　向量的其他应用

命题点1　向量在不等式中的应用

例3  已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,0]   B．[0,1]

C．[1,3]   D．[1,4]

命题点2　向量在解三角形中的应用

例4 (2019·赤峰模拟)在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝·sin B.

(1)求角B的大小；

(2)求△ABC的面积．

跟踪训练3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.

(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

2．在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于(　　)

A．48   B．36

C．24   D．12

3．已知△ABC满足－＝k(其中k是常数)，则△ABC的形状一定是(　　)

A．正三角形   B．钝角三角形

C．等腰三角形   D．直角三角形 

4．(2018·朝阳模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝4x

C．y2＝16x   D．y2＝4x

6．(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且＝λ，＝，则·的最大值为(　　)

A．－2   B．－

C.   D.

7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.

8．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________．

10．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.

11．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，＝(2,2)，且与的夹角为，·＝2.

(1)求点D的坐标；

(2)当m为何值时，＋m与垂直．

12．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cos B＝，求b的值．

13．(2018·包头模拟)已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为(　　)

A．－4   B．－25

C．－9   D．－16

14．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)· 的最小值为________．

15．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[－4,4]   B．[－，]

C．[－5,5]   D．[－6,6]

16．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则(　　)

A．|a－c|max＝   B．|a＋c|max＝

C．|a－c|min＝   D．|a＋c|min＝