高中数学高考32第六章 数 列 6 1 数列的概念与简单表示法

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1．数列的定义
按照 排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．(选用)数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个 来表示，那么这个 就叫做这个数列的
5．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
概念方法微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．( )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.( )
题组二 教材改编
2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝ .
3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .
题组三 易错自纠
4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．
5．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是 ．
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)eq \f(2,3)，eq \f(4,15)，eq \f(6,35)，eq \f(8,63)，eq \f(10,99)，…；
(2)－1，7，－13，19，…；
(3)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(4)5，55，555，5 555，….
跟踪训练1 (1)数列－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…的一个通项公式an＝ .
(2)数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝ .
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ .
(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝ .
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，则an＝ .
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式是an＝ .
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝ .
引申探究
1．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝eq \f(n,n＋1)an”，如何求解？
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
3．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”，如何求解？
4．若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
跟踪训练3 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝ .
(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝ .
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知an＝eq \f(n－1,n＋1)，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
命题点2 数列的周期性
例5 (2019·包头质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝eq \f(\r(3)＋an,1－\r(3)an)，则S2 020＝ .
命题点3 数列的最值
例6 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A．－3 B．－5 C．－6 D．－9
跟踪训练4 (1)(2018·葫芦岛模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 020的值为( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是( )
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
1．已知数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…，则5eq \r(5)是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2018·锦州质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )
A．255 B．256 C．510 D．511
4．(2018·呼和浩特模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an·an＋1)))的前6项和为( )
A.eq \f(2,15) B.eq \f(4,15) C.eq \f(5,11) D.eq \f(10,11)
5．在数列{an}中，a1＝2，eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n
C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n
6．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于( )
A．2n－1 B．n2
C.eq \f(n＋12,n2) D.eq \f(n2,n－12)
7．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋eq \f(1,an)，a8＝eq \f(34,21)，则a5＝ .
8．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
9．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝ .
11．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λaeq \\al(2,n)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
13．(2018·抚顺模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 019等于( )
A．－22 019－1 B．32 019－6
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2 019－eq \f(7,2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2 019－eq \f(10,3)
14．(2018·赤峰模拟)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N＋)，若对任意n∈N＋，anm，则Sn－Sm的最小值为( )
A．－eq \f(49,4) B．－eq \f(49,8)
C．－14 D．－28
16．已知数列{an}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设Sn是数列{an}的前n项和，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,Sn·Sn＋1)))前n项和为Tn，若不等式λ≤Tn对任意的n∈N+恒成立，求实数λ的最大值．
最新考纲
考情考向分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数
无穷数列
项数
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1 an
其中n∈N＋
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1＝an