高中数学高考33 第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·唐山五校联考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)

A. B．2

C．4 D．6

解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，易知当直线过点时，zmin＝2×＋＝，故选A.

2．(2019·广州市调研测试)已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：，设z＝·，则z的最大值是(　　)

A．－6  B．1  C．2  D．4

解析：选D.法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝·＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由，得，即C(1，2)，则z的最大值是4，故选D.

法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z＝·＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，故z的最大值是4，故选D.

3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A．(0，3] B．[－1，1]

C．(－∞，3] D．[3，＋∞)

解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，

由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.

4．(2019·湖北黄冈模拟)若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)

A．9 B．3

C.   D.

解析：选D.如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，

由动直线x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立解得所以D，所以区域的面积S阴影＝S△ACD－S△OEC＝×3×－×1×1＝，故选D.

5．实数x，y满足(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.

6．(2019·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．

解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝取得最大值，即zmax＝＝32.

法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝，即可求得最大值．联立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝取得最大值32.

答案：32

7．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．

解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，

设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，

由图知C，D间的距离最小，此时z最小．

由得即C(0，1)，

此时zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.

答案：5

8．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．

解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．

目标函数z＝表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内(含边界)．显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为＝－.

答案：－

9.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．

(1)写出表示区域D的不等式组；

(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为

(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，

解得－18<a<14.故a的取值范围是(－18，14)．

10．已知x，y满足，记点(x，y)对应的平面区域为P.

(1)设z＝，求z的取值范围；

(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．

解：平面区域如图所示，易得A，B，C三点坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．

(1)由z＝知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，

当直线过A(－4，3)时，z＝－4；

当直线过C(－1，0)时，z＝.

故z的取值范围是(－∞，－4)∪.

(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，

故直线l的方程是＝，即x－y＋4＝0.

[综合题组练]

1．(应用型)(2019·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥0 B．m≤3

C．m≥1 D．m≥3

解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．

设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.

2．(创新型)(2019·江西上饶模拟)已知P(x，y)为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M(2，1)，O(0，0)，则z＝·的最大值为(　　)

A．1 B．2

C．10 D．11

解析：选D.画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

联立解得A(4，3)．由点M(2，1)，O(0，0)，得z＝·＝2x＋y，则y＝－2x＋z，

显然直线y＝－2x＋z过A(4，3)时，z最大，

此时z＝2×4＋3＝11.故选D.

3．(应用型)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图，交点C的坐标为(－m，m)，直线x－2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C(－m，m)必在直线x－2y＝2的下方，即m＜－m－1，解得m＜－，所以m的取值范围是，故选C.

4．(应用型)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.

答案：21

5．已知点A(5，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域的外接圆的直径为20，求n的值．

解：注意到直线l′：x－y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．

画出不等式组

表示的可行域，如图中阴影部分所示．

设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.

在△OAB中，OA＝＝10.

根据正弦定理，得＝20，解得α＝或.

当α＝时，＝tan ，得m＝－.

又直线l过点A(5，5)，所以5＝－×5＋n，

解得n＝10.

当α＝时，同理可得m＝，n＝0(舍去)．

综上，n＝10.

6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为

设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．

(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得点M的坐标为(20，24)．

所以zmax＝2×20＋3×24＝112.

即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．