高中数学高考33第六章 数列与数学归纳法 6 1 数列的概念与简单表示法

这是一份高中数学高考33第六章 数列与数学归纳法 6 1 数列的概念与简单表示法，共9页。试卷主要包含了1　数列的概念与简单表示法，数列的定义，数列的分类，数列的通项公式，数列的递推公式，an与Sn的关系等内容，欢迎下载使用。

1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4.(选用)数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个_ _来表示，那么这个_ _就叫做这个数列的_ __ _.
5.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,_ __ _，n≥2.))
概念方法微思考
1.数列的项与项数是一个概念吗？
2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )
(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.( )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.( )
题组二 教材改编
2.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.
3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
题组三 易错自纠
4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是________.
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)eq \f(2,3)，eq \f(4,15)，eq \f(6,35)，eq \f(8,63)，eq \f(10,99)，…；
(2)－1,7，－13,19，…；
(3)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(4)5,55,555,5 555，….
跟踪训练1 (1)数列－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…的一个通项公式an＝________________.
(2)数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝________.
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，则an＝________.
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式是an＝________.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.
引申探究
1.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝eq \f(n,n＋1)an”，如何求解？
2.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
3.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”，如何求解？
4.若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
跟踪训练3 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝______________.
(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知an＝eq \f(n－1,n＋1)，那么数列{an}是( )
A.递减数列 B.递增数列
C.常数列 D.摆动数列
命题点2 数列的周期性
例5 (2019·包头质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝eq \f(\r(3)＋an,1－\r(3)an)，则S2 020＝________.
命题点3 数列的最值
例6 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A.－3 B.－5 C.－6 D.－9
跟踪训练4 (1)(2018·葫芦岛模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 020的值为( )
A.2 B.－3 C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是( )
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
1.已知数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…，则5eq \r(5)是它的( )
A.第19项 B.第20项
C.第21项 D.第22项
2.记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2018·锦州质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )
A.255 B.256 C.510 D.511
4.(2018·呼和浩特模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an·an＋1)))的前6项和为( )
A.eq \f(2,15) B.eq \f(4,15) C.eq \f(5,11) D.eq \f(10,11)
5.在数列{an}中，a1＝2，eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A.2＋nln n B.2n＋(n－1)ln n
C.2n＋nln n D.1＋n＋nln n
6.已知数列{an}的通项公式an＝eq \f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N＋恒成立，则正整数k的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋eq \f(1,an)，a8＝eq \f(34,21)，则a5＝________.
8.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
9.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
10.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________.
11.已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式.
12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λaeq \\al(2,n)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
13.(2018·抚顺模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 019等于( )
A.－22 019－1 B.32 019－6
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2 019－eq \f(7,2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2 019－eq \f(10,3)
14.(2018·赤峰模拟)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N＋)，若对任意n∈N＋，anm，则Sn－Sm的最小值为( )
A.－eq \f(49,4) B.－eq \f(49,8)
C.－14 D.－28
16.已知数列{an}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设Sn是数列{an}的前n项和，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,Sn·Sn＋1)))前n项和为Tn，若不等式λ≤Tn对任意的n∈N＋恒成立，求实数λ的最大值.
最新考纲
考情考向分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点.本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1_ _an
其中
n∈N＋
递减数列
an＋1_ __an
常数列
an＋1＝an