高中数学高考36第六章 数列与数学归纳法 6 4 数学归纳法

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§6.4　数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式.偶尔在高考中以解答题形式出现，属高档题. 数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取          (n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当          时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立.概念方法微思考1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？ 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？  题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　 　)(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　 　)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　 　)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　 　)(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　 　)题组二　教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A.1  B.2  C.3  D.43.已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A.1   B.1＋aC.1＋a＋a2   D.1＋a＋a2＋a35.对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.则上述证法(　　)A.过程全部正确B.n＝1验证的不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________.  题型一　用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N＋).    题型二　用数学归纳法证明不等式例1　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式··…·>成立.    跟踪训练1　数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立.     题型三　归纳—猜想—证明 命题点1　与函数有关的证明问题例2　设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.     命题点2　与数列有关的证明问题例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2).(1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.         命题点3　存在性问题的证明例4　是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N＋都成立，若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明你的结论.        跟踪训练2　已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N＋均有a≤an－an＋1成立.(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论.      1.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)的值为(　　)A.1   B.C.1＋＋＋＋   D.非以上答案2.已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B.f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)23.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A.1项  B.k项  C.2k－1项  D.2k项4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A.k2＋1B.(k＋1)2C.D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)25.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立6.用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_________________________________.7.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________________________________________________________________________.8.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________________.9.若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.10.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N＋)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是________.11.求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋).     12.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N＋)，且点P1的坐标为(1，－1).(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N＋，点Pn都在(1)中的直线l上.      13.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)A.n＋1   B.2nC.   D.n2＋n＋114.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A.(k＋3)3   B.(k＋2)3C.(k＋1)3   D.(k＋1)3＋(k＋2)315.已知xi>0(i＝1,2,3，…，n)，我们知道(x1＋x2)·≥4成立.(1)求证：(x1＋x2＋x3)≥9.(2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)·≥16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x1＋x2＋…＋xn和＋＋…＋(n≥2，n∈N＋)有关的不等式，并用数学归纳法证明.