高中数学高考48第八章 立体几何与空间向量 8 4 直线、平面平行的判定与性质

§8.4　直线、平面平行的判定与性质

1．线面平行的判定定理和性质定理

2.面面平行的判定定理和性质定理

概念方法微思考

1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？

2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　 　)

(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(　 　)

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　 　)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　 　)

(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　 　)

(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　 　)

题组二　教材改编

2．[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

题组三　易错自纠

4．(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，n⊂α，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；

③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.

其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

求证：GF∥平面ADE.

命题点2　直线与平面平行的性质

例2 (2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.

(1)证明：EF∥平面PDC；

(2)求点F到平面PDC的距离．

思维升华 判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)．

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．

(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

跟踪训练1 (2019·崇左联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝＝λ(λ≠0)．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)当λ＝时，求点D到平面AFB的距离．

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

引申探究

1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．

跟踪训练2 (2018·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．

题型三　平行关系的综合应用

例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

跟踪训练3 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交．

(1)画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线；

(2)求证：BD1∥平面α.

1．下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

3．(2019·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

4．(2018·大同模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)

A．0条   B．1条

C．2条   D．0条或2条

5．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)

7．(2018·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是________．(填序号)

8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．

10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

11．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P－ABM的体积．

12.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.

13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)

A．AC⊥BF

B．三棱锥A－BEF的体积为定值

C．EF∥平面ABCD

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

15.如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为(　　)

A.   B.

C．15   D．45

16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱锥P－ACD的体积为9.

(1)求AD的值；

(2)过点O的平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长．