高中数学高考52第八章 立体几何与空间向量 8 8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

§8.8　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝.

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

概念方法微思考

1．利用空间向量如何求线段长度？

2．如何求空间点面之间的距离？

已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　 　)

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　 　)

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　 　)

(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．

(　 　)

(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　 　)

题组二　教材改编

2．[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)

A．45°   B．135°

C．45°或135°   D．90°

3．[P117A组T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______．

题组三　易错自纠

4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．

题型一　求异面直线所成的角

例1 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

跟踪训练1 三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

题型二　求直线与平面所成的角

例2 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

思维升华 若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝－β或θ＝β－，故有sin θ＝|cos β|＝.

跟踪训练2 (2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

题型三　求二面角

例3 (2018·达州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°.

(1)求证：BF⊥AE；

(2)求二面角B－EF－D的平面角的正切值．

跟踪训练3 (2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．

利用空间向量求空间角

例 (12分)如图，四棱锥S－ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.

(1)求证：AC⊥平面SBD；

(2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值．

1．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为(　　)

A．60°   B．120°

C．60°或120°   D．90°

2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为(　　)

A．0  B．－  C.  D.

6．(2019·上海松江、闵行区模拟)如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cos θ等于(　　)

A.  B.  C.  D．－

7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________．

8.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．

9.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________．

10．(2019·福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为________．

11．(2018·皖江八校联考)如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝.

(1)证明：B1Q⊥A1C；

(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．

12．(2019·赣州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝，PD＝2，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点．

(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；

(2)求二面角A－BF－C的余弦值．

13.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3.E，F分别为线段BC，SB上的一点(端点除外)，满足＝＝λ，当实数λ的值为________时，∠AFE为直角．

14．(2018·海南五校模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N，Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在直线A1B1上运动，且＝λ(λ∈[0，1])．

(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；

(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

15．在四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　)

A．1   B．2

C．13   D．26

16.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.

(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．