高中数学高考58第九章 平面解析几何 9 5　椭圆 第1课时 椭圆及其性质

这是一份高中数学高考58第九章 平面解析几何 9 5　椭圆 第1课时 椭圆及其性质，共19页。试卷主要包含了椭圆的概念，椭圆的标准方程和几何性质，已知椭圆C，设F1，F2为椭圆C，已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。
§9.5　椭　圆
最新考纲
考情考向分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.



1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若ab>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P49T4]椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3．[P80T3]过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．[P49T6]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三　易错自纠
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
答案　C
解析　由方程表示椭圆知
解得－30)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，
∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选A.

第1课时　椭圆及其性质
题型一　椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案　A
解析　由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6 C．4 D．12
答案　C
解析　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)
A. B.
C. D．4
答案　A
解析　F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，
∴P，∴|PF1|＝，
∴|PF2|＝4－＝.
4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

题型二　椭圆的标准方程

命题点1　定义法
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
命题点2　待定系数法
例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________．
答案　＋＝1
解析　∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，即 ＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　如图，

在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二　(特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，
∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
答案　
解析　因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e20，
化为b>.
又0b>0，＝，直线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　椭圆C1：＋＝1的离心率e1＝＝，双曲线C2：－＝1的离心率e2＝＝，
由＝，得＝，
则a＝b，由
得3x2＋12x＋18－2b2＝0，
由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，
则a2＝6，∴椭圆C1的方程为＋＝1，故选C.


16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围．
解　由＝得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－0(0