高中数学高考73第十二章 概率、随机变量及其分布 12 1　事件与概率、古典概型

这是一份高中数学高考73第十二章 概率、随机变量及其分布 12 1　事件与概率、古典概型，共13页。试卷主要包含了1　事件与概率、古典概型，概率的几个基本性质，65，P＝0，理解古典概型及其概率计算公式等内容，欢迎下载使用。

1．事件
(1)不可能事件、必然事件、随机事件：
在同样的条件下重复进行试验时，有的结果 ，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中 ，它称为必然事件；有的结果 ，也 ，它称为随机事件．
(2)基本事件、基本事件空间：
试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最 的 ；所有 构成的 称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．
2．概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，总是在某个 附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个 叫做事件A的概率，记作P(A)．
(2)概率与频率的关系： 可以通过频率来“测量”， 是 的一个近似．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： .
(2)必然事件的概率P(E)＝ .
(3)不可能事件的概率P(F)＝ .
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝ ．
5．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和．
6．古典概型的两个特点
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的 ；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是 ．
7．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq \f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n).
8．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的基本事件数,试验的基本事件总数).
概念方法微思考
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
3．任何一个随机事件与基本事件有何关系？
4．如何判断一个试验是否为古典概型？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )
(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．
( )
(5)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( )
题组二 教材改编
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(4,15) C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,3)
4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．
题组三 易错自纠
5．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
6．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
7．(2018·沈阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______．
题型一 随机事件
命题点1 随机事件的关系
例1 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
(2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
命题点2 随机事件的频率与概率
例2 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
命题点3 互斥事件与对立事件
例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
跟踪训练1 (1)某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
①若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
(2)(2016·北京改编)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
①试估计C班的学生人数；
②从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
题型二 古典概型
例4 (1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,5)
(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．
(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．
引申探究
1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的4个小球，从中一次取2个球，求标号和为奇数的概率．
2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．
跟踪训练2 (1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,5)
(2)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( )
A.eq \f(9,56) B.eq \f(9,28) C.eq \f(9,14) D.eq \f(5,9)
题型三 古典概型与统计的综合应用
例5 空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地2018年某月10天的AQI的茎叶图如图所示．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．
跟踪训练3 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．
(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有一个黑球与恰有两个黑球
2．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq \f(1,2)，甲获胜的概率是eq \f(1,3)，则甲不输的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
4．(2018·抚顺期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15% B．20% C．45% D．65%
5．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,10) C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,3)
6．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
7．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为________．
8．(2018·大连模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．
9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________．
10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
11．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
12．一个盒子里装有三张卡片，分别标记为数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
13．(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,8)
14．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
15．一个三位数个、十、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
16.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.8,0.7，0.7，则系统正常工作的概率为________．
最新考纲
考情考向分析
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
3.理解古典概型及其概率计算公式.
4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.
名称
定义
并事件(和事件)
由事件A和B 所构成的事件C
互斥事件
不可能 的两个事件A、B
互为对立事件
不能 且 的两个事件A、B
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
地区
A
B
C
数量
50
150
100