高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第七章 不等式 课时达标检测（三十四） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 Word版含答案

课时达标检测（三十四）  二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

1．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是(　　)

A．(0,2)   B．(－2,0) 

C．(0，－2)   D．(2,0)

解析：选C　将四个点的坐标分别代入不等式组验证可知，满足条件的只有(0，－2)．

2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选C　平面区域如图中阴影部分所示．解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.∴S△ABC＝××1＝.

3．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)

A．0       B．1         C.   D．2

解析：选D　作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.

4．若x，y满足约束条件则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为(　　)

A．1         B.         C．5   D．9

解析：选B　不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为2＝，故选B.

5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．

解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.

答案：4

一、选择题

1．若x，y满足不等式组则z＝3x＋y的最大值为(　　)

A．11         B．－11       C．13          D．－13

解析：选A　将z＝3x＋y化为y＝－3x＋z，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y＝－3x＋z经过点D时，z取得最大值．联立得D(4，－1)，此时zmax＝4×3－1＝11，故选A.

2．(2017·河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是(　　)

A．20       B．22        C．24   D．26

解析：选A  由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，故选A.

3．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)

A．2       B．－2          C.   D．－

解析：选D　作出线性约束条件的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k<0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4，即k＝－.故选D.

4．(2017·安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件则z＝y－x的取值范围为(　　)

A．   B.

C．   D.

解析：选B　作出可行域如图所示，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝x2相切时，z取得最小值，由消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－，故－≤z≤2，故选B.

5．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)

A．2   B．4 

C．3   D．6

解析：选C　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，由得C(2，－2)．由得D(－1,1)．所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.

6．(2017·山东济南三校联考)已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为(　　)

A．(0,2)  B.  C.  D.

解析：选B　约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－<－a<0，即0<a<.故选B.

二、填空题

7．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为________．

解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1.

答案：1

8．已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是________．

解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.

答案：

9．已知x，y满足则的取值范围是________．

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

因为＝＝1＋，而表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率，

由图知斜率的最小值为0，最大值为kAB＝＝，

所以1＋的取值范围是，

即的取值范围是.

答案：

10．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.

答案：21

三、解答题

11．若x，y满足约束条件

(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；

(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，可知z＝x－y＋过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1.

所以z的最大值为1，最小值为－2.

(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4,2)．

12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，

所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.

(2)约束条件为

整理得目标函数为w＝2x＋3y＋300.

作出可行域如图所示：

初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线，易知直线经过点A时，w有最大值．由得

所以最优解为A(50,50)，此时wmax＝550元．

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．