新高考数学三轮冲刺“小题速练”01（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”1

答案解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项符合题目要求．）

1. 已知集合，集合，则的子集个数为（     ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】

由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．

2. 已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A. t≤–1 B. t<–1

C. t≤–3 D. t≥–3

【答案】A

【解析】

由指数函数性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．

3. 在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（  ）

A. -3 B. 0 C. -1 D. 1

【答案】C

【解析】

因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.

4. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A  B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】，，,因为，

所以，，从而的面积为.

故选:D.

5. 如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】由图可知，三种正态曲线的都等于

由一定时，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则

故选：D

6. 设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，

.

.

故选：.

7. 双曲线的左、右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

为抛物线的焦点，，

，故点坐标为或

，则

解得，又

,

故选

8. 设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】设，则.

当时，，

当时，，故，所以，函数在上单调递减；

当时，，故，所以，函数在上单调递增.

所以，所以，函数没有零点，

故也没有零点.

故选：D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）

9. 在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）

A. 成绩在的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000

C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；

考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；

因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，

所以中位数为，故D错误.

故选ABC.

10. 已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（    ）.

A. 函数的图像关于直线对称

B. 当时，函数的最小值为

C. 若，则的值为

D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位

【答案】BD

【解析】由题知：函数的最大值为，所以.

因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，

所以，，，

又因为的图像关于点对称，

所以，，.

所以，.因为，所以.

即.

对选项A，，故A错误.

对选项B，，，

当时，取得最小值， 故B正确.

对选项C，，

得到.

因为，

故C错误.

对选项D，

的图像向右平移个单位得到

，

故D正确.

故选：BD

11. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 若，则是在的投影向量

D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

【答案】BCD

【解析】如图所示：

对选项A，，故A错误.

对选项B，

，故B正确.

对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，

所以是在的投影向量，故选项C正确.

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，.

又因为，所以.

因为，则，.

令，

当时，取得最大值为.故选项D正确.

故选：BCD

12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列. 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】对于A选项：

，，

所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；

对于C选项：，故C选项错误；

对于B选项：斐波那契数列总有：，

所以，，

所以，故B正确；

对于D选项：，，

，，

。

所以

，故D选项错误；

故选：AB.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.

【答案】128

【解析】由题意，通项为：，

由于的展开式中第6项的系数为-189，

则第六项系数为：，解得：，

故该二项式为，

令得展开式各项系数的和为：．

故答案为：128．

14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.

【答案】

【解析】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,

三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，

三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，

由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，

所以恰好取6次卡片时停止的概率为: ，

故答案为：

15. 已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】由题意可知，直线与直线垂直，，可得，

由于方程表示的曲线为圆，则，解得，

且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，

所以，，解得，

所以，圆的方程为，即，

圆心坐标为，半径长为，

圆心到直线的距离为，

因此，.

故答案为：；.

16. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为______．

【答案】

【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么,,所以．由题意，体积的最小值即为最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为．