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新高考数学三轮冲刺“小题速练”02(2份打包,教师版+原卷版)
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2021届高三数学“小题速练”2
答案解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,集合,,
则.
故选:A.
2. 已知为虚数单位,,复数,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,复数,得,
所以,故选B.
3. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”的否定是,.
故选C
4. 已知向量,若,则( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
由题意,向量,可得,
因为,可得,解得.
故选:C.
5. 二项式的展开式中项的系数为10,则( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】由二项式的展开式的通项得:令 ,得,则 ,所以,解得,
故选C.
6. 已知,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,,,
所以,
故选:A.
7. 已知圆关于直线对称,则圆C中以为中点的弦长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】依题意可知直线过圆心,即,.
故.
圆方程配方得,与圆心距离为1,故弦长为.
故选D.
8. 用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件,则该零配件体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,正三棱柱内接于球的直观图,为底面的中心,因为.
设底面边长,则,
,
等号成立当且仅当,故选D.
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9. 下列命题正确的是( )
A. 若角(),则
B. 任意的向量,若,则
C. 已知数列的前项和(为常数),则为等差数列的充要条件是
D. 函数的定义域为,若对任意,都有,则函数的图像关于直线对称
【答案】BC
【解析】对于A选项:当时,,当时,,不满足,故A不正确;
对于B选项:设的夹角为,则,所以,所以或,所以,故B正确;
对于C:验证必要性:当n=1时,;当n≥2时,;
由于,所以当n≥2时,是公差为2a等差数列.
要使是等差数列,则,解得c= 0.即{an }是等差数列的必要条件是:c= 0.
验证充分性:当c=0时,.
当n=1时,;当n≥2时,,显然当n=1时也满足上式,
所以,进而可得,所以等差数列.
所以为等差数列的充要条件是成立,故C正确;
对于D选项:设函数,满足其定义域为,且对任意,都有
,满足,
而,则函数的图像关于直线对称,故D不正确,
故选:BC.
10. (多选题)函数(,)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.
B. 若把函数的图像向左平移个单位,则所得函数是奇函数
C. 若把的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到的函数在上是增函数
D. ,若恒成立,则的最小值为
【答案】ABD
【解析】】如图所示:,所以,
,
,,即,
(),(),
,,,故A正确;
把的图像向左平移个单位,
则所得函数,是奇函数,故B正确;
把的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,
得到的函数,,,
在上不单调递增,故C错误;
由可得,恒成立,
令,,则,
,,
,,
的最小值为,故D正确.
故选:ABD.
11. 若,为正实数,则的充要条件为( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】因为,故A选项错误;
因为,为正实数,所以,故B选项正确;
取,则,,即不成立,故C选项错误;
因为,当时,,所以在上单调递增,
即,故D正确.
故选:BD
12. (多选题)已知函数,函数,下列选项正确的是( )
A. 点是函数的零点
B. ,使
C. 函数的值域为
D. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于选项A,0是函数的零点,零点不是一个点,所以A错误.
对于选项B,当时,,可得,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
所以,当时, ,
当时,,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
图像
所以,当时, ,综上可得,选项B正确;
对于选项C,,选项C正确.
对于选项D,关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有一个非零的实数根
函数与有一个交点,且,
当时,,当变化时,,变化情况如下:
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
极大值,极小值,当时,
当变化时,,的变化情况如下:
| 1 | 2 | ||
|
| 0 | ||
| 极小值 |
极小值,
图像
综上可得,或,
的取值范围是,D不正确.
故选:BC
三、填空题(每小题5分,共20分)
13. 在等差数列中,若,,则_________.
【答案】
【解析】因为,故,
故答案为:8.
14. 化简: ________.
【答案】-1
【解析】
原式)(
.故答案为
15. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年,是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研,要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名,则所有不同的分派方案种数为________________.(用数字作答).
【答案】900
【解析】由题意分两步完成:第一步:将5名党员分派到三个不同的扶贫村,第二步,将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.
第一步:因为党员有5人,先分成3个组进行分派,分组情况有两种,第一种按人数是1,1,3分组有种不同情况,第二种按人数是2,2,1分组有种不同情况,再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式;
第二步:将3名医护人员分派到3个不同扶贫村,共有种不同情况.
所以所有的不同分派方案有种.
故答案为:900.
16. 已知函数有两个不同的极值点,,则的取值范围是_____;若不等式有解,则的取值范围是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】由题可得(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,
于是有解得.
若不等式有解,所以
因为
.
设,
,故在上单调递增,故,
所以,所以的取值范围是.
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