新高考数学三轮冲刺“小题速练”04（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”4

答案解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）

1.已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】，，.

故选:B.

2.在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），
∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，
设＝(a，b)，，则，即，
又，解得：，∴，对应复数为.

故选：A.

3.已知向量是单位向量，，且，则（    ）

A. 11 B. 9 C. 11或9 D. 121或81

【答案】C

【解析】由题意，因为，则两向量的夹角为0或π，

则有，

则或9.

故选：C.

4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率

故选：A

5.已知直线与平面，且，则是（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】在时，则，

若，则有或，不充分，

若，设过作一平面与相交于直线，则，从而，所以，必要性成立，

因此就在是必要不充分条件．

故选：B．

6.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由题意可得，令

得，令，得，所以的最大值为.

故选：D

7.已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，

则，，

所以为异面直线与所成的角，

在三角形中，，，所以.

故选：B.

8.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ）

A. 或 B. 1或 C. 或2 D. 或1

【答案】A

【解析】已知，①

且，分别是上的偶函数和奇函数，

则，

得：，②

①+②得：，

由于关于对称，

则关于对称，

为偶函数，关于轴对称，

则关于对称，

由于有唯一零点，

则必有，，

即：，

解得：或.

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是（    ）

A. 该市总有15000户低收入家庭

B. 在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C. 在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户

D. 在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

【答案】ABC

【解析】该市总有户低收入家庭，A正确；

在该市从业人员中，低收入家庭共有户，B正确；

在该市失无业人员中，低收入家庭有户，C正确；

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有户，D错误.

故选：ABC.

10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A. 当时，

B. 函数有3个零点

C. 的解集为

D. ，都有

【答案】BCD

【解析】（1）当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，A错；

∴ ，

（2）当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，B对；

（3）当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，C对；

（4）当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，D对；

故选：BCD．

11.已知圆方程为：与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是（    ）

A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交

C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】由题意，圆的圆心，半径，

直线变形得，得直线过定点，

∵，

∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；

由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，

此时弦长为，故C对；

故选：AC．

12.对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】经验证，，，，都满足条件①；

，或；

当且时，等价于，

即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

由单调性知，当时，，

∴，

令，，，

当且仅当即时，“”成立，

∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，

故是“偏对称函数”；

C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

有单调性知，当时，，

设，，则，

在上是减函数，可得，

∴，

即，符合条件③，故是“偏对称函数”；

D中，，则，则是偶函数，

而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

故选：BC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）

【答案】

【解析】

法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；

法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，
故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=14．

故答案为14

14.点，，，，为坐标原点，则与的夹角的取值范围是______.

【答案】

【解析】因为，，所以，

所以，

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

如图：

由图可知，当与圆相切时，最大，也就是与夹角最大，

此时，，所以，

所以与夹角的取值范围是.

故答案为：.

15.的展开式中，的系数为______.

【答案】30

【解析】 表示5个因式的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，

故含的项系数是

故答案为：30

16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足

，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】由题意可得，当时，

，

，，

，

当且仅当时，等号成立，

，

由可得，，

解得，

综上，实数的取值范围是.

故答案为：.