新高考数学三轮冲刺“小题速练”13（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”13

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集为实数集，集合，，则集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】求解对数函数的定义域可得：，

结合交集的定义可得：集合为.

本题选择D选项.

2. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（    ）

A  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】依题意可得，

所以，

故选：C.

3. 已知直线：，直线：，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，

所以tanα=3，

所以sin2α=2sinαcosα=

故选D．

4. 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（   ）

A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路

C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路

【答案】D

【解析】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路

故选D

5. 已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】设，

联立，化为，

直线与圆相交于两点，为坐标原点），

，解得，

，

，

，

，

，

解得，

则“”是“”的充分不必要条件，故选A.

6. 如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

抛物线的准线，焦点，

由抛物线定义可得，

圆的圆心为，半径为4，

∴的周长，

由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，

∴，∴，故选    C.

7. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为

球的半径为R，则酒杯下部分（半球）的表面积为

酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，

酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得

酒杯下部分（半球）的体积

酒杯上部分（圆柱）的体积

所以.

故选：A

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线方程为，

设点，

因为，即为直角三角形，且为直角，

所以，则上，

解得，

故，又，

所以直线的斜率，所以，

故该双曲线的离心率.

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（    ）

A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商

B. 三家设备商的产品组合指标得分相同

C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商

D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商

【答案】ABD

【解析】雷达图中是越外面其指标值越优，

P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；

三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；

R设备商的研发投入优于Q设备商，故C错误；

除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；

故选：ABD.

10.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（    ）

A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2

C. 的值可以为 D. 的值可以为

【答案】ABC

【解析】由椭圆，得，，，故A正确；

椭圆上的动点，，即有，

故的最小值为2，B正确；

设，，，…组成的等差数列为，公差，则，

又，所以，所以，所以的最大值是，

故C正确，D错误.

故选：ABC.

11.对于四面体，下列命题正确的是（    ）

A. 由顶点作四面体的高，其垂足是的垂心

B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点

C. 若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面

D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱

【答案】BD

【解析】如图取、、、、、的中点

对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而点的位置可以任意变化，故A错误；

对于B.，，为平行四边形，同理也是平行四边形，

，的交点为平行四边形对角线的中点，，的交点为平行四边形对角线的中点，

故三条线段交于一点，故B正确；

若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于的中点，故C为错误；

对于D.假设D错误，设最长，则，，相加得，

在，中，，，所以矛盾，

故D正确.

故选：BD.

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.己知函数，则（    ）

A. ，

B. 是偶函数

C. ，

D. 若的值域为集合，，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5

【答案】ACD

【解析】由定义得，故 A正确；

因为.易知在上是增函数；

∵，∴，∴，∴的值域为，故B错误.

，，，，

∴，，

∴，故C正确；

若，，使得，，，…，同时成立，则，，，，…，，

因为，若，则不存在同时满足，.只有时，存在故D正确；

故答案为：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则______.

【答案】

【解析】方法一：，则.

方法二：分子分母同除，得.

故答案为：

14.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为______.

【答案】

【解析】由单位向量，满足，得，所以，，所以，

又,所以.

故答案为：

15.设函数的最小值为，且，则______，______.

【答案】    (1). 2    (2). 9

【解析】由，

令，

因为函数，为减函数，

所以当时，，

即，

所以，

因为的展开式通项为：，

所以当，即时，展开式的项为，

又，所以.

故答案为：2；9

16.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，，且函数在内恰有2021个零点，则______.

【答案】

【解析】将函数的图象向右平移个单位，得到函数

，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，

令，

令，可得，

令，得，，

则关于的二次方程必有两不等实根，，

又，则、异号，

（ⅰ）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在有偶数个根，不合题意；

（ⅱ）当且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意；

（ⅲ）当，则，

当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，

则方程在上有个根，

由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意；

（ⅳ）当时，则，

当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，

则方程在上有个根，

由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此关于的方程在区间上有2021个根，在区间上有2022个根，

此时，，得.

所以.

故答案为：1347