新高考数学三轮冲刺“小题速练”15（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”15

答案解析

一、单选题

1. “十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，

又，则

故选D.

2. （2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A. 1 B. 2

C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

设公差为，，，联立解得，故选C.

3. 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．

4. 等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A. 12 B. 10 C. 9 D.

【答案】C

【解析】由等比数列下标和的性质可得：，

等比数列的各项均为正数，，

.

故选：

5. 等差数列中，，且，为其前项和，则（   ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】由题意可得：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，
所以由等差数列的性质可得：．
故选B．

6. 已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】因为，所以.

两式相减化简可得，

公比，

由可得，

，

则，解得，

，

当且仅当时取等号，此时，解得，

取整数，均值不等式等号条件取不到，则，

验证可得，当时，取最小值为，故选B.

7. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A. 9 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】因为，所以，解得或，

，

因为，所以，

因此依次代入得当时，取最小值.

故选：B.

8. 数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　）

A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830

【答案】D

【解析】由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，

a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．

从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，

故选D．

9. 已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】 ①

当时，类比写出  ②

由①-②得   ，即.

当时，，

，

③

     ④

③-④得，

（常数），，

的最小值是

故选C.

10. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A. 440 B. 330

C. 220 D. 110

【答案】A

【解析】

由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

二、多选题

11. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 与均为的最大值

【答案】ABD

【解析】由是等差数列，是其前项的和，且，，

则，，，，

则数列为递减数列，即选项A，B正确，

由，即，即选项C错误，

由，可得与均为的最大值，即选项D正确，

故选：ABD.   

12. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】时，，数列不一定是等比数列，

时，，数列不一定是等比数列，

由等比数列的定义知和都是等比数列．

故选AD．

三、填空题

13. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．

【答案】

【解析】

设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，

数列的前n项和，

裂项可得，

所以．

14. 等比数列的前项和为， ，若，则______

【答案】

【解析】由题知公比，所以，解得，所以.

故答案为

15. 数列的首项，且，令，则______．

【答案】

【解析】因为

所以

所以 且

所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列

所以 即

代入得

设数列的前n项和为

则

则

16. 已知数列 中，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

由题意数列中，，

即，

则有，

则有

又对于任意的，，不等式恒成立，

即对于任意的恒成立，

即对于任意的恒成立，

则，解得或.

故答案为：.