新高考数学三轮冲刺“小题速练”23（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”23

答案解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集为，集合，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

可解出M，然后进行交集的运算即可．

【详解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；

∴M∩N＝{0，1}．

故选D．

【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．

2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的除法运算化简，计算得到复数对应的点，则答案可求．

【详解】∵，

∴.

∴在复平面内对应的点为，

∴在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于简单题.

3.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（    ）

①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加

②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小

③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平

A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ③

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.

【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；

由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；

根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，

故每年的增幅基本持平，故③正确；

故选：A

【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.

4.平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（    ）

A.  B.  C. 19 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

计算，得到答案.

【详解】，故.

故选：.

【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.

5.函数的图象大致为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；又因为，排除C项；又因为，排除D项，即可得到答案.

【详解】由题意知，函数，满足，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；

又因为，所以C选项错误；

又因为，所以D选项错误，故选A.

【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及准确运算特殊点的函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用任意角的三角函数的定义先求出，由二倍角的公式可求出的值．

【详解】解：角的终边经过点，
由任意角的三角函数的定义得：，
故有.
故选：C．

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，考查计算能力．

7.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案．

【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，

则，

所以该条渐近线方程为；

所以，

解得；

所以 ，

所以双曲线的离心率为．

故选A．

【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，

8.已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.

【详解】设，则

，两式相减并化简得，

即,

由于且，由此可解得，

故椭圆的方程为.

故选：D.

【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9. 若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（    ）

A. xN，xM B. xN，xM

C. MN＝{1，5} D. MN＝{﹣3，﹣1，3}

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，逐个判断即可得解.

【详解】对A，﹣3 N，﹣3M，故A错误；

对B， 1N，1M，故B正确；

对C，MN＝{1，5}，故C正确；

对D，MN＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，故D错误.

故选：BC.

【点睛】本题考查了集合及元素相关关系，也考查了集合的运算，其方法是对集合的元素进行分析判断，属于基础题.

10. 下列不等式成立的是（    ）

A. 若a＜b＜0，则a2＞b2 B. 若ab＝4，则a＋b≥4

C. 若a＞b，则ac2＞bc2 D. 若a＞b＞0，m＞0，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.

【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；

对于B，当，时，，显然B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，，所以，，所以

所以，即成立，故D正确．

故选AD．

【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.

11. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. MN∥平面A1BD

B. 平面MNB截长方体所得截面的面积为

C. 直线BN与B1M所成角为60°

D. 三棱锥N—A1DM的体积为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】

画出长方体ABCD—A1B1C1D1，结合图像，逐个判断即可得解.

【详解】

对A，由MN∥，∥，

所以 MN∥， MN∥平面A1BD，

显然平面A1BD，平面A1BD，故A正确；

根据两平行平面和同一平面相交，交线平行的性质可得：

∥，所以平面MNB截长方体所得图像为梯形，

又因为，

解得面积为，故B错误；

对C，做DC中点H，则直线B1M∥BH，

在△BNH中，BH=HN=BN=,故△BNH为等边三角形，

直线BN与BH所成角为60°，

所以直线BN与B1M所成角为60°，故C正确；

对D，由，

可得三棱锥N—A1DM的体积为4，故D正确.

【点睛】本题考查了空间线面关系，考查了异面直线所成角以及转体法求体积，考查了空间想象能力和转化思想，属于中当题.

12. 已知函数，，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是（    ）

A. 当时，方程没有相应实根

B. 当或时，方程有1个相应实根

C. 当时，方程有2个相异实根

D. 当或或时，方程有4个相异实根

【答案】AB

【解析】

【分析】

先由题中条件，得到；根据导数的方法，判定函数在时的单调性，求函数值域，再由得出或；再根据函数零点个数的判定方法，逐项判定，即可得出结果.

【详解】由得，则；

所以，故，

当时，，则，

由得；由得；

则，又，时，；

即时，；

当时，；

由解得或；

A选项，当时，与都无解，故没有相应实根；故A正确；

B选项，当或时，方程有1个相应实根，即只要一个根，则只需或，解得或；故B正确；

C选项，当时，有三个根，有一个根，所以方程有4个相异实根；故C错；

D选项，时，方程有两个解；有一个解，共三个解；

当时，方程有两个解；有一个解，共三个解；

当时，方程无解；方程有三个解，共三个解；故D错.

故选：AB.

【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程的实根，考查方程根的个数的判定，属于常考题型.

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，则t＝_______．

【答案】8.5

【解析】

【分析】

根据线性回归直线过中心点，分别求出收入和支出的平均数，代入即可得解.

【详解】分别求出收入和支出的平均数，

可得：，

，

代入可得：

，

解得：，

故答案为：.

【点睛】本题考查了线性回归直线方程，考查了线性回归直线过中心点的性质，易错点为直接代统计数据，计算量不大，属于基础题.

14. 在的展开式中，的系数是_________.

【答案】10

【解析】

【分析】

利用二项式定理展开式的通项公式即可求解.

【详解】因为的展开式的通项公式为

，

令，解得.

所以的系数为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

15. 若函数导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝_______；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为_______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．

【详解】解：设，，则，则，，

有如下性质：．

则，

的最大值为，

故答案为：，．

【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．

16. 已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，不妨以D为球心，画出图形，可知正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分，即，利用弧长公式求出，乘以3即可得答案．

【详解】解：由题可知，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，

如图，不妨以为球心，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，

与上底面截得的弧长，是以为圆心，以4为半径的四分之一的圆周，

所以，

该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查正方体与球的截面问题，关键是理解截面与球的关系，弧与球心的位置关系，属于中档题.