新高考数学三轮冲刺“小题速练”24（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”24

答案解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1. 已知函数的定义域为集合M，集合N＝，则＝（    ）

A. [﹣1，3] B. [0，2] C. [0，1] D. [﹣1，4]

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知条件求出集合M，结合集合N＝，由交集的性质可得的值.

【详解】解：由题意：令得，

所以，所以，

故选：B．

【点睛】本题主要考查交集的性质，考查学生对基础知识的理解，属于基础题.

2. 平流层是指地球表面以上到的区域,下述不等式中,能表示平流层高度的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据绝对值的几何意义即可得解.

【详解】解析:如图：设,则的中点为,

由距离公式可得

答案:D

【点睛】此题考查根据绝对值的几何意义解决实际问题，关键在于正确理解绝对值的几何意义.

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定形式书写.

【详解】命题“”的否定是

，.

故选C

【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.

4. 某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（    ）

A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在8．9月份

D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】

分析】

由折线图的意义、及中位数的定义即可判断出A错误；根据折线图中增减的几何意义可以判定B错误；根据纵轴的意义，观察最高点的大约月份可判定C错误，根据图形的波动幅度可以判定D正确..

【详解】解：由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11，共3个月，低的有1,2,3,4,5,7,8共7个月，

故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确 ；

月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；

月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C不正确；

从折线图来看，1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.

故选:D.

【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5. 已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知，，而抛物线开口向上，可得，在两根之外，结合选项即可得出答案.

【详解】解：由题可知，，并且是方程的两根，

即有，，

由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，

结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题.

6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（    ）（台体体积公式：V台体＝，，分别为上、下底面面积，h为台体的高，一尺等于10寸）

A. 3 B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意计算出盆中积水的体积除以盆口面积可得该处的平地降雨量.

【详解】解：由题意可得：池盆盆口的半径为14寸，盆底半径为6寸，盆高为18寸，

因为积水深九寸，故水面半径为寸，

则盆中水的体积为(立方寸)，

故该处的平地降雨量为：(寸)，

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆台的体积计算公式，考查学生的基础计算能力，属于基础题.

7. 已知符号函数，，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，求出的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得，即可得出答案．

【详解】解：根据题意，，，

当时，可知，，则，

当时，可知，，则，

当时，可知，，则，

则有，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题．

8. 若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案．

【详解】解：由题可知，则，

令，

而，则，

所以在上单调递增，

故，即，

故，

即，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（    ）

A. 2 B. 0 C. 1 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】

作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.

【详解】

由与恒过，如图，

当时，两函数图象恰有一个公共点，

当时，函数与的图象恰有一个公共点，

则为的切线，且切点为，

由，所以，

综上所述，或.

故选：BCD

【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.

10.设正项等差数列满足，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最大值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.

【详解】因为正项等差数列满足，

所以，

即.

①，当且仅当时成立，故A选项正确.

②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.

③，当且仅当时成立，

所以的最小值为，故C选项错误.

④结合①的结论，有，

当且仅当时成立，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.

11.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（    ）

A. 抛物线的焦点坐标为 B.

C. 为抛物线上的动点，，则 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A，由抛物线方程可得焦点坐标；B，由题意可得直线PQ的方程与抛物线联立求出P，Q的坐标，进而可得PQ的长度；C，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得|MF|+|MN|的最小值；D，由题意可得A，B的坐标，进而求出AB的值；然后判断所给命题的真假．

【详解】A，由题意可得抛物线的焦点F（2，0），所以A正确；

B，由题意设直线PQ的方程为：y（x﹣2），

与抛物线联立整理可得：3x2﹣20x+12＝0，解得：x或6，

代入直线PQ方程可得y分别为：，4，

由题意可得P（6，4），Q（，）；

所以|PQ|＝64，所以B正确；

C，如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|＝ME|，

所以|MF|+|MN|＝|ME|+|MN|≥NE＝2+2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，所以C不正确；

D，因为P（6，4），Q（，），所以PF，QF的中点分别为：（3，2），（，），

所以由题意可得A（0，2），B（0，），

所以|AB|＝2，所以D正确；

故选：ABD．

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．

12.在边长为2的等边三角形中，点分别是边上的点，满足 且，（），将沿直线折到的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（    ）

A. 在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面

B. 存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面

C. 若，当二面角为直二面角时，

D. 在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，即可判断出结论.

对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，即可判断出结论.

对于C，，当二面角为直二面角时，取ED的中点M，可得平面.可得，结合余弦定理即可得出.

对于D.在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积，，利用导数研究函数的单调性即可得出.

【详解】对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，如图所示，

则可得平行且等于，即四边形为平行四边形，

∴，而始终与平面相交，

因此在边上不存在点F，使得在翻折过程中，满足平面，A不正确.

对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，因此不满足平面平面，因此B不正确.

对于C.，当二面角为直二面角时，取的中点M，如图所示：

可得平面，

则，因此C不正确；

对于D.在翻折过程中，取平面AED⊥平面BCDE，四棱锥体积，，，可得时，函数取得最大值，因此D正确.

综上所述，不成立的为ABC.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出的导数，设切线为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值．

【详解】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，

∴，又，∴（），，

当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，

∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线．如果是过某点的切线可设切点坐标为，利用导数几何意义求出切点坐标．

14.已知函数（）的最大值为，则实数的取值范围是______________.

【答案】

【解析】

【分析】

通过换元法将的最值问题转化为的最值，利用二次函数的性质列不等式求解即可．

【详解】解：由已知

令，

则，

因为，

则在区间的右端点取最大值，

故，则．

故答案为：．

【点睛】本题考查二次型三角函数的最值问题，通过换元法可将问题简单化，是一道基础题．

15.点是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

过作准线的垂线，垂足分别为，则，在中寻找它们的关系，求出比值的最大值。

【详解】

如图，过作准线的垂线，垂足分别为，则，

中，，当且仅当时取等号。

∴，

，即的最大值为。

故答案为：。

【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。

16.在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则______；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧，再求此时的，即可求出；判断三棱锥的体积最小时即点位于时，此时三棱锥的外接球球心为的中点，所以半径为的一半，从而可得外接球的表面积.

【详解】如图，因为平面，垂足为，

则为直线与平面所成的角，

所以.因为，所以，

所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，

记点的轨迹为圆弧.连接，则.

因为，，所以，

则弧的长度，所以.

当点位于时，三棱锥的体积最小，

又，

∴三棱锥的外接球球心为的中点.

因为，

所以三棱锥的外接球的表面积.

故答案为：；

【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题.