新高考数学三轮冲刺“小题速练”27（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”27

答案解析

一､单选题

1. 下列函数与函数相等的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本题先求函数的定义域为，函数的值域为，函数的定义域为，并判断与函数不同，排除ABD，再判断与的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到答案.

【详解】解：因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故A选项错误；

因为函数的值域为，而函数的值域为，故B选项错误；

因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故D选项错误；

因为与的定义域、值域、对应关系都相同，故C选项正确.

故选：C

【点睛】本题考查函数的定义、判断函数是否为同一函数，是基础题.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【详解】解：要使函数有意义，则，

得，

即或，

即函数的定义域为，

故选：．

【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键．属于基础题．

3. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由两角差的正切公式计算．

【详解】由题意．

故选：A．

【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

4. 函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

【详解】根据函数，，的部分图象，

可得，，．

再根据五点法作图，可得，，

故，

故选：A

【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5. 为得到函数的图象，只需将的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】

【分析】

先将转化为，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.

【详解】，，所以向左平移个单位长度，得到函数的图象.

故选：A

【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.

6. 定义在R上的函数是奇函数，为偶函数，若，则（    ）

A.  B. 0 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可．

【详解】解：为偶函数，

，即函数的图象关于对称，

是奇函数，

，且，

∴，

∴，

∴函数的周期是8，

∴，

，

，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．

7. 已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；

【详解】解：因为，定义域为，

在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，

所以在定义域上单调递增，

由，，

所以

即

故选：A

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为

A. 11 B. 9

C. 7 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．

【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，

∴，即，（n∈N）

即ω＝2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（，）上单调，则，

即T，解得：ω≤12，

当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；

当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选B．

【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.

二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A. 月跑步里程最小值出现在2月

B. 月跑步里程逐月增加

C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解

【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题

10.已知函数，下列结论正确的是（    ）

A. 函数图像关于对称

B. 函数上单调递增

C. 若，则

D. 函数的最小值为

【答案】A

【解析】

【分析】

本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.

【详解】由题意可得：

，

即可绘出函数图像，如下所示：

故对称轴为，A正确；

由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；

要使，则，

由图象可得或、或，

故或或，C错误；

当时，函数取最小值，最小值，D错误，

故选：A．

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.

11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（    ）

A. 直线与平面所成角的正弦值范围为

B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形

D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点

【答案】AC

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，

平面，则为平面的一个法向量，且，，

，

所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；

对于B选项，当与重合时，连接、、、，

在正方体中，平面，平面，，

四边形是正方形，则，，平面，

平面，，同理可证，

，平面，

易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.

设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，

易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，

正六边形的周长为，面积为，

则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；

对于C选项，设平面交棱于点，点，，

平面，平面，，即，得，，

所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，

而，，且，

由空间中两点间的距离公式可得，，，

所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；

对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：

若最短，则、、三点共线，

，，

，所以，点不是棱的中点，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.

12.函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（    ）

A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0

B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0

C. 对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点

D. 存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】

逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a 的交点问题．

【详解】选项A，当时，，，

所以，故切点为，，

所以切线斜率，

故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.

选项B，当时，，，

恒成立，所以单调递增，

又,

,所以，即，所以

所以存，使得，即

则在上，，在上，，

所以在上，单调递减，在上，单调递增.

所以存在唯一的极小值点.

,则，，所以B正确.

对于选项C、D，，

令，即 ，所以, 则令,

,令,得

由函数的图像性质可知:

时，，单调递减.

时，，单调递增.

所以时，取得极小值，

即当时取得极小值，

又,即

又因为在上单调递减，所以

所以时，取得极小值，

即当时取得极大值，

又，即

所以

当时，

所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.

当，即时，与的图象只有一个交点

即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.

故选：ABD
．

【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．

三、填空题：本题共4小题．

13.的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)

【答案】240

【解析】

【分析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．

【详解】解：展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的常数项为，

故答案为：240．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.

【答案】

【解析】

【分析】

先定义事件，，，，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。

【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，

“甲摸到红球”的事件为，则，

设“乙摸到绿球”的事件为，则，

“乙摸到红球”的事件为，则，

在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。

15.己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.

【详解】对求导得，

因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，

所以即，

所以，所以切点为，

由切点在切线y=x－a上可得即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.

16.已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_________，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为___________.

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆的半径，求得直线的方程，由此求得点的坐标，从而求得，进而求得△F1PF2的面积.

【详解】双曲线的方程为，则.

设圆分别与相切于，

根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知①，

而②. 由①②得：，所以,

所以直线的方程为，即的横坐标为.

设坐标为，则到圆M上点的最大距离为，

即，解得.

设直线的方程为，即.

到直线的距离为，解得.

所以线的方程为.

由且在第一象限，解得.

所以，.

所以△F1PF2的面积为.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.