3.2 三角形中线长的计算及其演变 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第2节  三角形中线长的计算及其演变知识与方法三角形的中线长的计算是一个基本的运算单元，在很多问题中都会涉及到，下面归纳两类中线长的计算问题，其它条件下求中线长，可先用解三角形的方法求出其中的一些要素，从而转化为下面这两类问题，或者直接在中线分割成的小三角形中，利用解三角形的知识来求中线长.1.已知两边及夹角，求第三边上的中线长例如，设中，已知边b、c和角A，如图1所示，这类问题的解法很多，较为简单的有两种：解法1：，开根号即得；解法2：将以AB、AC为邻边补全为平行四边形，如图2所示，在中，，，所以，由余弦定理，，开根号再除以2即得的长.2.Stewart公式：如图3所示，D是边上任意一点，则.3.已知三边，求中线长例如，设中，已知边a、b、c，求中线的长，如图1所示，这类问题的解法很多，较为简单的有三种：解法1：先用求得，接下来在中，利用余弦定理计算.解法2：如图1所示，设，由Stewart，，直接解出x即得的长.解法3：如图1所示，设，显然，所以,在和中分别由余弦定理计算和，从而建立方程求解x.提醒：大题宜使用解法1，小题可以用解法2来求解.典型例题【例题】在中，，，，则BC边上的中线AD的长为______.【解析】解法1：如图1，因为D为BC中点，所以，故，从而.解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，，在中，由余弦定理，，所以，故.【答案】2变式1  在中，，，BC边上的中线，则_______.【解析】解法1：如图1，设，则.解法2：，解得：，故，即.解法3：将补全为平行四边形，如图2，则，，在中，，所以，从而，故.解法4：如图1，设，由Stewart公式，，解得：，即.【答案】6变式2  在中，，，D为BC边上一点，，若，则_____.【解析】解法1：设，则，.解法2：，解得：，故，即.解法3：设，则，由Stewart公式，，解得：，故.【答案】6变式3  在中，，，，则BC边上的中线AD的长为______.【解析】解法1：如图，在中，，在中，，所以.解法2：如图，设，由Stewart公式，，解得：.解法3：如图，设，由图可知，所以，解得：.【答案】变式4  在中，，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______.【解析】解法1：如图1，设，则，因为D是BC的中点，所以，故，因为，所以，从而，故.解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，设，则，在中，，因为，所以，故，从而，显然，所以.解法3：如图1，设，，由Stewart公式，，所以，由可得，所以，即的长的取值范围是.解法4：如图1，取中点G，连接，则，将单独画出来分析，如图3，由于点D在运动过程中始终要满足，所以点D的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，不含A、B、D共线的情形，由图形的运动过程易得.【答案】 强化训练l.（★★★）在中，，，，则BC边上的中线AD的长为_______.【解析】解法1：如图1，由题意，D为BC中点，所以，故，从而.解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，，在中，由余弦定理，，所以，故.【答案】2.（★★★）在中，，，D是BC中点，，则BC等于（    ）A. B. C. D.【解析】解法1：如图1，设，则，解得：，故.解法2：因为是中点，所以，故，解得：，所以，从而.解法3：如图2，将补全为平行四边形，则，，在中，，故，.解法4：如图1，设，由Stewart公式，，即.【答案】B3.（★★★）在中，，，D为BC边上一点，，若，则_______.【解析】解法1：设，则，由图可知，，所以，解得：，所以.解法2：由题意，，所以，即，解得：，所以，故.解法3：设，则，由Stewart公式，，解得：，故.【答案】44.（★★★）在中，，，则AC边上的中线BD的长为______.【解析】解法1：如图，在中，，在中，，所以.解法2：如图，设，由Stewart公式，，解得：.解法3：如图，设，由图可知，所以，解得：.【答案】5.（★★★★）在中，，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是_______.【解析】解法1：如图1，设，则，因为是的中点，所以，故，因为，所以，从而，故.解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，设，则，在中，，因为，所以，故，从而，显然，所以.解法3：如图1，设，，由Stewart公式，，所以，由可得，代入可得，即的长的取值范围是.【答案】解法4：如图1，取中点G，连接，则，将单独画出来分析，如图3，由于点D在运动过程中始终要满足，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，不含A、B、D共线的情形，由图形的运动过程易得.