3.3 角平分线性质定理与张角定理 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第3节  角平分线性质定理与张角定理知识与方法1.角平分线性质定理：如图1所示，是的平分线，则.2.张角定理：如图2所示，D为边上一点，则.特别地，若恰好为的平分线，则.提醒：小题中这些性质可以直接用，大题可以先证明再用. 典型例题【例1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，的角平分线交边于点D，则______.【解析】解法1：如图，由余弦定理，，所以，由角平分线性质定理，，所以，从而，，设，由图可知，所以，从而，解得：，即.解法2：如图，由余弦定理，，所以，由角平分线性质定理，，所以，从而，，设，由Stewart公式，，解得：，即.解法3：如图，由角平分线性质定理，，所以，从而，所以，故.解法4：由张角定理，，即，解得：.【答案】变式1  在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______.【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则，由图可知，所以，即，解得：，所以，故.解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则，由Stewart公式，，解得：，所以，故.解法3：如图，由角平分线性质定理，，即，所以，故，从而，解得：.解法4：由张角定理，，所以.【答案】 变式2  在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为______.【解析】解法1：由角平分线性质定理，，所以，设，，则，由得：，由图可知，所以，即，化简得：，因为，所以.解法2：由角平分线性质定理，，所以，故，设，则，因为，所以，故.解法3：设，由张角定理，，所以，故，显然，所以.【答案】【例2】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______.【解析】解法1：如图，且，在中，由余弦定理，，所以，从而，，故，所以，故.解法2：如图，由题意，，，由张角定理，，所以，解得：，故.【答案】2变式  在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上且，，则的最小值为______.【解析】解法1：以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，可设直线的方程为，其中，因为，所以直线的方程为，联立解得：，，所以，联立解得：，所以，从而，，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.解法2：由张角定理，，即，化简得：，所以，当且仅当时取等号，此时，结合可得，，故的最小值为.【答案】 强化训练1.（★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上，，若，，则_______.【解析】解法1：，又，所以，因为，所以，故，结合可得，如图，，，因为，所以，故，从而，解得：或（舍去），从而.解法2：，又，所以，因为，所以，故，结合可得，设，由张角定理，，即，又，所以，解得：，从而.【答案】2.（★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边BC上，，，，，则_______.【解析】解法1：如图，，在中，由余弦定理，，所以，从而，故，所以.解法2：如图，，由张角定理，，所以，解得：，所以.【答案】3.（★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，的平分线与边交于点D，，，，则______.【解析】解法1：由角平分线性质定理，，所以，设，则，由图可知，所以，故，解得：，所以.解法2：由角平分线性质定理，，所以，设，则，由Stewart公式，，解得：，即.解法3：由角平分线性质定理，，所以，故，从而，解得：，所以，故.解法4：由张角定理，，所以，故，由余弦定理，，所以.【答案】4.（★★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______.【解析】解法1：如图，，，所以，故，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.解法2：如图，由张角定理，，所以，故，从而，当且仅当时取等号，故的最小值为4.【答案】45.（★★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的面积最小值为_______.【解析】解法1：如图，，，所以，从而，故，当且仅当时取等号，因为，所以的面积的最小值为.解法2：如图，由张角定理，，所以，故，从而，故，当且仅当时取等号，因为，所以的面积的最小值为.【答案】6.（★★★★）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______.【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，，设，，则，由，得：，由Stewart公式，，故，因为，所以.解法2：如图，设，，则，故，，故，即.解法3：设，则，由张角定理，，所以，因为，所以.【答案】