3.5 三角形最值问题经典模型 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第5节  三角形最值问题经典模型：已知一角及对边知识与方法已知一角及其对边，求其它量的最值，这类问题的解题方法通常有三种：解法1：利用正弦定理进行边化角，将目标量表示成内角的三角函数，借助三角函数求最值.解法2：对已知的角用余弦定理，结合基本不等式及其相关推论求最值.解法3：利用模型的几何背景，数形结合求最值. 典型例题【例题】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求的面积的取值范围.【解析】解法1：由正弦定理，，故，，又，所以，故，从而，因为，所以，从而，故的取值范围为.解法2：由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为4，又，所以的取值范围是，而，所以的面积的取值范围为.解法3：记的外接圆为圆O，设其半径为r，如图，B、C两点在圆周上固定不动，满足，点A在所对的优弧上运动，，由正弦定理，，所以圆O的半径，所以的外接圆是一个定圆，以作为的底边，设边上的高为，则，由图可知当点A运动到处时，h最大，且此时为正三角形，所以，所以h的取值范围为，从而的面积取值范围为.【反思】若将题干的改为锐角，解题过程会有什么变化呢?.变式1  在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求的周长的取值范围.【解析】解法1：由正弦定理，，故，，又，所以，故，所以的周长，因为，所以，故，所以，从而L的取值范围是.解法2：一方面，，所以；另一方面，由余弦定理，，所以，故，当且仅当时等号成立，所以，从而周长的取值范围为.【反思】①若将题干的改为锐角，解题过程会有什么变化呢?去看看视频吧；②在已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积和周长都会在该三角形为等腰三角形时取得最大值.变式2  在中，已知，，则的最大值为______.【解析】如图，在中，即为边上的高，画出图形如图，由图可知，当A位于图中处时，边上的高最大，即最大，此时，为正三角形，可求得.注：本题也可以按照前面提到的另外两个解法来做，但小题之中，通过图形求解是最快的.【答案】变式3  在中，已知，，则边上的中线的取值范围为_______.【解析】如图，在中，当A位于图中处时，边上的中线最长，为，当A向B或C靠近时，中线逐步变短，故边上的中线的取值范围为.【答案】【反思】已知一角及其对边这一模型中，三角形的面积、周长、已知的边上的高、已知的边上中线长这些量的最大值均在另外两边相等时取得，可以在理解的基础上记忆这一结论，便于速解一些小题.变式4  在中，已知，，点D满足，则的长的最大值为______.【解析】如图，设外接圆的圆心为O，连接并延长交圆O于点，当点A与点重合时，的长取得最大值，理由如下：将图中不与重合的点A和点比较，，在中，，故，所以点当A与点重合时，的长取得最大值，由正弦定理，，故，过点O作于点E，则E为中点，故，，所以，从而，故的长最大值为.【答案】变式5  在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.（1）求B；（2）如图，若，D为外一点，在平面凸四边形中，，求四边形面积的最大值. 【解析】解：（1）由题意，所以，从而，故，又，所以.（2）在中，由余弦定理，，将，代入化简得：，解得：或0（舍去)，所以，由知，在中，由余弦定理，，从而，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故四边形面积的最大值为. 强化训练1.（★★★）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且的面积为，则面积的最大值为______.【解析】由题意，，又，所以，故，因为，所以，从而，结合可得，，当且仅当时取等号，所以，故面积的最大值为.【答案】2.（★★★）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为3，，M为边中点，且，，则______.【解析】如图，由即M为边中点知，在中，设，则，整理得：，解得：或，由于，所以，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以，即.【答案】3.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则线段的长的最大值为（    ）A. B. C. D.【解析】如图，设外接圆的圆心为O，连接，并延长交圆O于点，当点A与点重合时，的长取得最大值，理由如下：将图中的点A和点进行比较，，而在中，，故，所以当点A与点重合时，的长最大，由正弦定理，，所以，过点O作于点E，则E为中点，故，，所以，故长的最大值为.【答案】D4.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，若D、E分别为、的中点，G为的重心，则的面积的最大值为______.【解析】，如图，G为的重心，在中，由余弦定理，，所以，当且仅当时取等号，而，所以，故.【答案】【反思】若熟悉本节模型的结论，可在求出后，直接根据面积最大时必为等边三角形快速求得其面积的最大值.5.（★★★★）在凸四边形中，，对角线，且，则对角线的长的取值范围是_____.【解析】如图，取中点E，连接，因为，所以，又，所以，从而，，因为，所以已知及其对边，故的外接圆不变，设该外接圆为圆O，如图，点C可以在圆O的优弧上运动，设圆O的半径为r，则，所以，从而，，，所以，当点C无限接近点B或点D时，就无限接近5，所以对角线的长的取值范围是.【答案】6.（★★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，若l和S分别表示的周长和面积，则_____，的最大值为______.【解析】因为，所以，从而①，又，代入式①整理得：，因为，所以，故，从而，所以，因为，所以，故，从而，所以，设，则，一方面，，另一方面，由余弦定理，，所以，故，当且仅当时取等号，从而，所以，注意到函数在上，所以，从而，取等条件是，故.【答案】，【反思】若求最值得过程中两次运用了不等式，则必须验证两个不等号能同时取等号.7.（★★★）在中，已知.（1）求B；（2）若，求的面积的最大值.【解析】（1）由得：，所以，故，所以，结合知.（2）由余弦定理，，所以，当且仅当时等号成立，故，从而的面积的最大值为.8.（★★★）如下图所示，四边形中，A、B、C、D四点共圆，且，，.（1）若，求的长；（2）求四边形的周长的最大值.【解析】（1）在中，由余弦定理，，所以，因为A、B、C、D四点共圆，所以，从而，故，在中，由正弦定理，，所以.（2）由（1）可得，，在中，由余弦定理，，即，所以，故，当且仅当时取等号，又，，所以四边形的周长的最大值为.9.（★★★★）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，若点P在边上，且，.（1）求C；（2）求的最大值.【解析】（1）因为，所以，整理得：，故，又，所以.（2）解法1：如图，作交延长线于D，则，且，因为，所以，，，在中，由余弦定理，，所以，从而，当且仅当时取等号，此时，，所以的最大值为.解法2：如图，由题意，，所以，又，所以，故，从而，所以，当且仅当时取等号，此时，，，所以的最大值为.