6.4 法向量的计算与点到平面距离的计算 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

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第4节  法向量的计算与点到平面距离的计算知识与方法1．求法向量的“找0法”（1）举个例子，设，是平面内的两个不共线的向量，我们观察到的第三个分量是0，则先将的前两个分量交叉，并在其中一个分量上添负号，得到平面的法向量n的前两个分量，如，再由求得第三个分量，从而.（2）若遇到和都没有分量是0的情形，可以先用他们进行线性运算，变出一个0，再按上面的方法操作．例如，若，，则，注意到也是平面内的向量，所以可以用它来求法向量，这样就出现“0”了.2.计算点到平面的距离常用三种方法（1）作高法：直接作出过点到平面的垂线段。计算该垂线段的长度即可.（2）等体积法：以三棱锥为例，可以根据得出，其中是点A到平面的距离，是点B到平面的距离，可以利用上述方程求解或.（3）向量法：如下图所示，P为平面外一点，A为平面上任意一点，n为平面的一个法向量，则点P到平面的距离提醒：文科生可以忽略本节与向量法有关的内容，只需掌握作高法和等体积法.典型例题【例题】在棱长为2的正方体中，点A到平面的距离为_______.强化训练1.（★★★）如下图所示，棱长为2的正方体中，E为中点，则点D到平面的距离为______.2.（★★★）长方体中，，，则点B到平面的距离为_______.3.（★★★）如下图所示，在正三棱柱中，，，D为的中点，则点A到平面的距离为_____.4.（★★★）如下图所示，直三棱柱中，，，D、M分别为所在棱的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.