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7.5 圆的切线、切点弦结论 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法
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第5节 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆上一点的圆C的切线的步骤如下:(1)先验证经过点P且垂直于x轴的直线是否和圆C相切,若是,如图1所示,所求切线为,问题求解完毕;若否,则进行下一步;(2)设切线斜率为k,如图2所示,由切线,求出k,用点斜式写出切线的方程,问题求解完毕.上述问题的结论:圆C上点P处的切线的方程为.2求过圆外一点的圆C的切线的步骤如下:(1)先验证过点P且垂直于x轴的直线是否和圆相切,若是,如图3所示,其中一条切线为(2)设切线的斜率为k,用点斜式写出切线的方程,由圆心到切线的距离,解出k,求得切线方程.3.过圆外一点作圆C的两条切线,切点分别为A和B,如图4所示,则切点弦所在直线的方程为典型例题【例l】圆在点处的切线方程为______.【解析】显然点P在圆C上,故所求切线的方程为,化简得:.【答案】变式1 圆在点处的切线方程为______.【解析】易验证点P在圆C上,故所求切线的方程为,化简得:【反思】过圆C上的点作圆C的切线,则切线的方程可以在圆C的一般式方程中将换成,将换成,将x换成,将y换成得到.【答案】变式2 已知圆,则:(1)圆C的过点的切线方程为_______;(2)圆C的过点的切线方程为_______【解析】(1)显然过点P且斜率不存在的直线与圆C不相切,故可设切线的方程为,即,所以,解得:,故圆C的过点P的切线方程为;(2)易得过点Q且斜率不存在的直线与圆C相切,设另一条切线的方程为,即,所以,解得:,所以该切线的方程为,化简得:,综上所述,圆C的过点Q的切线方程为或.【答案】(1);(2)或【例2】已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线的方程为_______【解析】由题意,切点弦所在直线的方程为,即【答案】变式1 已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线的方程为______.【解析】由题意,切点弦所在直线的方程为化简得:【反思】过圆C外的点作圆C的两条切线,则切点弦所在直线的方程,可在圆C的一般式方程中将换成,将换成,将x换成,将y换成得到.【答案】变式2 已知圆,P为直线上一点,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A和B,若四边形 的面积为12,则直线的方程为______.【解析】如图,,所以四边形的面积,由题意,,解得:,由题意,点P在直线上,故可设,则,所以,解得:或2,当时,,此时直线的方程为,化简得:当时,,此时直线AB的方程为,化简得:,所以直线的方程为或【答案】或变式3 已知圆,P为直线上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,当四边形的面积最小时,则直线的方程为______.【解析】如图,,所以四边形的面积,所以当最小时,S也最小,此时,易求得的方程为,联立解得:,,所以,故直线的方程为,化简得:.【答案】 变式4 已知直线与x轴交于点T,过直线l上的动点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,设中点为M,则的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】如图,因为点P在直线上,所以可设,则切点弦所在直线的方程为即,所以直线过定点,又M为中点,所以,故点M在以为直径的圆上,从而点M的轨迹是以为圆心,为半径的圆,显然点在该圆外,所以.【反思】当动点P在与圆C相离的某一定直线上运动时,过点P作圆C的两条切线,则切点弦所在的直线是过定点的直线,熟悉这一模型,本题的求解就不困难了.【答案】A 强化训练1.(★★)圆在点处的切线方程为( )A. B.C. D.【解析】显然点P在圆C上,故所求切线的方程为,化简得:.【答案】D2.(★★)已知圆,则:(1)圆C的过点的切线方程为______;(2)圆C的过点的切线方程为______.【解析】(1)显然过点P且斜率不存在的直线与圆C不相切,故可设切线的方程为,即,所以,解得:,故圆C的过点P的切线方程为;(2)易得过点Q且斜率不存在的直线与圆C相切,设另一条切线的方程为,即,所以,解得:,所以该切线的方程为,化简得:,综上所述,圆C的过点Q的切线方程为或【答案】(1);(2)或3.(★★)已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线的方程为______.【解析】由题意,切点弦所在直线的方程为,化简得:.【答案】 4.(★★)已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线的方程为______.【解析】由题意,切点弦所在直线的方程为,化简得:.【答案】5.(★★)已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线的方程为______.【解析】由题意,切点弦所在直线的方程为,化简得:.【答案】 6.(★★★)已知圆,P为直线上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,若四边形的面积为12,则直线的方程为______.【解析】如图,,所以四边形的面积,由题意,,解得:,由题意,点P在直线上,故可设,则,所以,解得:或1,当时,此时直线AB的方程为,化简得:,当时,,此时直线AB的方程为,化简得:,所以直线的方程为或.【答案】或7.(★★★)已知圆,P为直线上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,当四边形的面积最小时,则直线的方程为______.【解析】圆心,半径.如图,,所以四边形的面积,所以当最小时,S也最小,此时,,故的方程为,即,联立解得:,,即,所以直线的方程为,化简得:.【答案】8.(★★★★)已知P为抛物线上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A和B,则当四边形的面积最小时,直线的方程为______.【解析】如图,,所以四边形的面积,所以当最小时,S也最小,由题意,,可设,则,故当时,取得最小值,此时,所以直线的方程为,化简得:.【答案】或9.(★★★★)已知圆,P为直线上的动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,的中点为Q,若点T的坐标为,则的最小值为______.【解析】圆心,半径,设,则切点弦所在直线的方程为,化简得:,所以直线过定点,如图,显然,所以点Q的轨迹是以为直径的圆,其圆心为,,因为,所以.【答案】
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