8.3 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第3节  椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.2．双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______.【解析】如图，设，则由焦点弦公式，，由焦半径公式，，，所以.【答案】，变式1  已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______【解析】设直线l的倾斜角为，则，所以，由焦点弦公式，.【答案】变式2  已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______.【解析】设，则由焦半径公式，，解得：，由焦点弦公式，.【答案】变式3  已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则________.【解析】设，则，由焦半径公式，，，所以，从而，即.【答案】2【反思】一般地，设椭圆的一个焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，则.变式4  已知椭圆的右焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为________.【解析】由焦点弦公式，，解得：，所以.【答案】变式5  已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，若、、成等差数列，则椭圆C的离心率为______.【解析】直线l的斜率为的倾斜角，由焦点弦公式，，、、成等差数列，如图，由椭圆定义可得，所以，故，化简得：，所以，从而，故椭圆C的离心率.【答案】 【例2】过双曲线的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为______.【解析】直线的倾斜角，由焦点弦公式，.【答案】 变式1  过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的方程为_______.【解析】由题意，，，，，设直线，则由焦点弦公式，，解得：或，若，则，所以，从而直线的斜率，故直线的方程为；若，则，所以，从而直线的斜率，故直线的方程为；综上所述，直线l的方程为或【答案】或变式2  过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则______.【解析】设，因为，所以点A必在双曲线右支上，由焦半径公式，，解得：，所以，从而，双曲线C的渐近线的斜率为，因为，所以点B也在双曲线的右支上，如图，由图可知，所以.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A、B两点，则_______.【解析】由焦点弦公式，.【答案】2.（★★）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则直线l的方程为________.【解析】设直线l的倾斜角为，由焦点弦公式，，从而，所以或135°，从而直线l的斜率为，显然，故直线l的方程为或.【答案】或3.（★★★）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则的面积为________.【解析】如图，由焦点弦公式，，所以.【答案】4.（★★★）已知椭圆一个焦点为F，过F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为________.【解析】由题意，直线的倾斜角为45°，由焦点弦公式，，因为，所以，结合化简得：，故离心率.【答案】5.（★★★）已知F是椭圆的左焦点，过F且不与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，弦的中垂线交x轴于点M，则=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A在x轴下方，则，，所以，从而，故.解法2（特值法）：考虑的情形，此时，M与原点重合，所以，故【答案】 6.（★★★）如图，椭圆的左焦点为F，过F作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A、B和D、E四点，则四边形的面积的取值范围是________.【解析】设，不妨假设，则，由焦点弦公式，，，所以四边形的面积，显然，所以，即四边形的面积的取值范围是.【答案】7.（★★★）双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的方程为________.【解析】由题意，，，，设直线，则由焦点弦公式，，解得：或，若，则，所以，从而直线的斜率，故直线的方程为；若，则，所以，从而直线的斜率，故直线l的方程为，综上所述，直线l的方程为或【答案】或8.（★★★）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则________.【解析】由题意，，所以，设，则，所以，解得：，从而，，显然双曲线C的渐近线斜率为，因为，所以点B也在左支上，且，故.【答案】9.（★★★）双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，且，则的面积为________.【解析】解法1：由题意，，，，设，由焦半径公式，，又，所以，解得：，所以，如图，显然.解法2：由题意，，，离心率，设，由焦半径公式，，又，所以，解得：或，因为P在右支上，所以，代入双曲线方程可求得，所以.解法3：如图，设双曲线C的右焦点为，由双曲线定义，，又，所以，易求得，所以，故，所以，显然O是的中点，所以.【答案】3