8.6 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

这是一份8.6 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法，文件包含第八章第6节椭圆双曲线焦点三角形下的离心率公式-解析版docx、第八章第6节椭圆双曲线焦点三角形下的离心率公式-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
第6节  椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式知识与方法1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.公式：2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.公式：.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（    ）A. B. C. D.【解析】解法1：如图，， ，故可设，则，，所以C的离心率.解法2：如图，.【答案】D变式1  设、是椭圆的左、右焦点，P在C上且轴，若，则椭圆C的离心率为_______.【解析】如图，且，故可设，则，，所以椭圆C的离心率.解法2：如图，【答案】变式2  在中，，，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设，，则，所以.解法2：如图，.【答案】变式3  过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨设，则，所以椭圆的离心率.解法2：如图，由题意，，所以椭圆的离心率.【答案】变式4  过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，，不妨设，，则，所以.解法2：如图，.【答案】变式5  在中，，，且，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【解析】解析：如图，设则，，而，所以.【答案】【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，且，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设，则，，所以.解法2：如图，由题意，，，所以.【答案】变式1  （2016·新课标Ⅱ卷）已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（    ）A. B. C. D.2【解析】解法1：如图，不妨设，，则，所以.解法2：.【答案】A变式2  已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨设，则，双曲线C的离心率.解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，所以.【答案】变式3  在中，，，则以B、C为焦点，且经过点A的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设，则，，所以双曲线的离心率.【答案】变式4  已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，，则双曲线C的离心率为_______.【解析】如图，由题意，，，所以.【答案】 强化训练1.（★★★）在中，，，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，由题意，不妨设，则，，所以.【答案】 2.（★★★）设、是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，，则椭圆C的离心率为_______.【解析】如图，，，所以，故.【答案】3.（★★★）已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，轴，且，则双曲线C的离心率为_______.【解析】如图，不妨设，，则，双曲线C的离心率.【答案】4.（★★★）在中，，，，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.【解析】椭圆的离心率.【答案】5.（★★★）过椭圆的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.【解析】如图，设椭圆C的右焦点为，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨设，则，，所以椭圆C的离心率.解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，.【答案】6.（★★★）已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，是正三角形，不妨设，则，，离心率.解法2：如图，是正三角形，，，所以双曲线C的离心率.【答案】7.（★★★）过双曲线的左焦点作x轴的垂线交C于A、B两点，C的右焦点为，若，则双曲线C的离心率为_______.【解析】如图，，不妨设，，则，所以离心率.【答案】8.（★★★）过双曲线的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线C的右焦点为，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨设，则，，所以C的离心率.【答案】9.（★★★）设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______.【解析】解法l：如图，直线的斜率为，又，所以，，不妨设，则，，所以椭圆C的离心率.解法2：如图，直线的斜率为，又，所以，，故椭圆C的离心率.【答案】10.（★★★）设、是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆的4个交点和、恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.【解析】如图，由题意，是正六边形，所以，，，故椭圆E的离心率.【答案】11.（★★★★）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.【解析】如图，显然四边形是矩形，所以，由题意，，所以，设，则，所以，又点P在第一象限，所以，故，即，所以，椭圆C的离心率，由可得，所以，故.【答案】