8.8 椭圆、双曲线的两个斜率积结论 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第8节  椭圆、双曲线的两个斜率积结论知识与方法1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积.推广：如图2所示，A、B为椭圆上关于原点对称的任意两点，P为椭圆C上的动点且直线、的斜率均存在，则直线、的斜率之积2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设是椭圆的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为的中点，则直线与直线的斜率之积.3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A、B分别为双曲线的左、右顶点，P为双曲线上不同于A、B的任意一点，则直线、的斜率之积推广：如图5所示，设A、B为双曲线上关于原点O对称的任意两点，P为双曲线C上的动点，且、的斜率都存在，则直线、的斜率之积4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设是双曲线的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为中点，则直线与直线的斜率之积.提醒：若是焦点在y轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题【例1】设椭圆的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的任意一点，则直线、的斜率之积为______.【解析】由题意，，，设，，则，所以，所以.【答案】变式1  设椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P为椭圆C上一点且直线、的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由题意，，所以椭圆C的离心率.【答案】变式2  设A为椭圆上第一象限的一点，B与A关于原点对称，点P在椭圆C上且直线、的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由题意，可设，则，且，所以，设，则，所以，从而，由题意，，所以，从而，故椭圆C的离心率.【答案】【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据求得离心率.变式3  椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P在C上，设直线、的斜率分别为、，若，则的取值范围是______.【解析】由椭圆第三定义，，所以，，故的取值范围是.【答案】【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式4  已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，若椭圆C上存在不与A、B重合的点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是______.【解析】如图，不妨设P在x轴上方，，记，，则，所以，从而①，由椭圆第三定义，，所以，代入①可得，显然，均为锐角，所以，，从而，当且仅当时取等号，故，结合可解得：.【答案】【例2】不与坐标轴垂直且不过原点O的直线l与椭圆相交于A、B两点，M为的中点，则直线与直线l的斜率之积为______.【解析】设，，则，两式作差得：，整理得：，所以直线与直线的斜率之积为.【答案】【反思】上面的求解过程是用点差法推导中点弦结论，熟悉结论之后，小题中可直接根据求得结果.变式1  直线l与椭圆相交于A、B两点，O为原点，M为的中点，若直线与直线l的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由中点弦结论，.【答案】变式2  已知直线l与椭圆相交于A、B两点，若的中点为，则直线l的方程为______.【解析】由中点弦结论，，又的中点为，所以，故，显然M在直线上，所以直线的方程为，化简得：【答案】 变式3  （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点，若的中点坐标为，则E的方程为（    ）A. B. C. D.【解析】如图，设中点为M，由中点弦结论，，由题意，，由图可知，，所以，整理得：又椭圆E的右焦点为，所以，故，，从而椭圆E的方程为【答案】D【反思】看到椭圆的弦中点，联想到中点弦斜率积结论【例3】设P是左、右顶点分别为A、B的双曲线上的一点，若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为（    ）A. B. C. D.【解析】由题意，，，设，则，所以，从而，直线的倾斜角为，所以，故直线的倾斜角为.【答案】C变式1  已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积为1，则该双曲线的离心率为______.【解析】由题意，可设，，，则，所以，同理，，从而，故，由题意，，所以，故，不妨设，则，所以双曲线的离心率为【答案】变式2  （2015·新课标Ⅱ卷）已知A、B是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（    ）A. B.2 C. D.【解析】解法1：设双曲线，如图，不妨设P在第一象限，过M作轴于N，由题意，，，所以，从而，，故M点的坐标为，代入双曲线方程得：，化简得：，所以，故离心率.解法2：设双曲线，由题意，，，所以直线和直线的斜率分别为和，由双曲线第三定义，，所以离心率.【答案】D【例4】过点作斜率为的直线与双曲线相交于A、B两点，若M点恰为弦的中点，则双曲线C的离心率为______.【解析】设，，则，两式作差得：，整理得：，即，所以，从而，故.【答案】变式1  已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于A、B两点，若M恰好为的中点，则直线l的方程为______.【解析】设直线l的斜率为k，由中点弦结论，，又点M的坐标为，所以，故，显然直线l过点M，所以直线l的方程为，化简得：【答案】变式2  已知双曲线的右焦点为，过点F的直线交双曲线C于A、B两点，若AB中点为，则双曲线C的方程为______.【解析】由中点弦结论，，所以，又双曲线C的右焦点为，所以，从而，，故双曲线C的方程为【答案】 强化训练1.（★★★）过点作斜率为的直线与椭圆相交于A、B两点，若M是线段的中点，则椭圆C的离心率为______.【解析】用中点弦结论，，所以椭圆C的离心率.【答案】2.（★★★）已知椭圆的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的一点，若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是______.【解析】设、的斜率分别为、，由椭圆第三定义，，所以，由题意，，所以，故，即直线的斜率的取值范围是【答案】3.（★★★）已知双曲线的离心率为2，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为C上不与A、B重合的一点，若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是______.【解析】设、的斜率分别为、，由双曲线第三定义，，所以，由题意，，所以，故直线的斜率的取值范围是【答案】4.（★★★）设P是左、右顶点分别为A、B的双曲线上的一点，若直线的斜率为，则直线的斜率为______.【解析】由题意，，由双曲线第三定义，，所以.【答案】5.（★★★）设椭圆上的A和B两点关于原点对称，点P为椭圆C上一点且直线、的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义的推广结论，，所以椭圆C的离心率.【答案】6.（★★★）直线l与椭圆相交于A、B两点，O为原点，M为的中点，若直线与直线l的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由中点弦结论，.【答案】7.（★★★）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于A、B两点，若M恰好为的中点，则直线l的方程为______.【解析】设直线l的斜率为k，由中点弦结论，，又点M的坐标为，所以，故，显然直线l过点M，所以直线l的方程为，化简得：【答案】8.（★★★★）已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆C上的动点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆C的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义，，所以，当且仅当时取等号，结合知此时，P为椭圆短轴端点，所以的最小值为，由题意，，解得：.【答案】9.（★★★★）已知椭圆的左右顶点分别为A和B，直线l过点B且与x轴垂直，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，直线与直线l交于点M，且，则椭圆C的离心率为______.【解析】如图，不妨设P在x轴上方，设直线、的斜率分别为、，由椭圆第三定义，，由图可知，因为，所以，从而，即，解得：.【答案】10.（★★★）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点，若中点M的坐标为，则椭圆E的方程为______.【解析】易求得，，由中点弦结论，，所以，故，又椭圆E的右焦点为，所以，从而，，故椭圆E的方程为.【答案】11.（★★★★）如下图所示，、为椭圆的左右顶点，O为坐标原点，S、Q、T为椭圆上不同于、的三点，且、、、围成一个平行四边形，则（    ）A.5 B. C.9 D.14【解析】解法1：，设直线的斜率为k，则的斜率为，联立可求得，，所以，将k替换成整理可得：，从而.解法2（极限位置分析法）：让点Q无限接近，此时S无限接近，T无限接近椭圆的上顶点，所以无限接近，故选D.【答案】D12.（★★★★）如下图所示，直线l交双曲线的右支于M、N两点，交x轴于点P，M在第一象限，N在第四象限，O为原点，直线交双曲线C的左支于点Q，连接，若，，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，过点Q作x轴的平行线交于点T，由题意，又，所以，又，所以，从而直线和直线的斜率分别为和，显然M、Q关于原点对称，由双曲线第三定义的推广，，所以，故双曲线C的离心率.【答案】13.（★★★★）如下图所示，、分别是椭圆的上、下顶点，点P是椭圆上不与、重合的动点，点Q满足，，则与的面积之比_______.【解析】解法1：设直线的斜率为，由椭圆第三定义的推广结论，，所以，因为，，所以，，显然，，所以直线的方程为，直线的方程为，联立直线和的方程可解得：，所以点Q的横坐标，直线的方程为，代入消去y整理得：，解得：或，所以点P的横坐标，由图可知.解法2（特值法）：不妨取P为椭圆右顶点，此时P、Q的位置如图所示，易求得，，所以，从而，结合可得，故，所以【答案】314.（★★★★）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，圆与双曲线C在第一象限的交点为P，记直线、的斜率分别为、，若，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，记，，则，，由题意，，，，所以是以D为直角顶点的等腰直角三角形，容易验证A、B两点都在圆D上，所以，从而，另一方面，，所以①由双曲线第三定义，，所以，从而，又，所以，故，代入式①可得，解得：.【答案】15．（★★★★）已知斜率为的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，M为y轴上一点，且，则点M的纵坐标的取值范围是______.【解析】如图，设中点为，由中点弦结论，，所以①，因为N为中点，所以点N在椭圆内部，从而将式①代入可解得：，因为M在y轴上，且，所以点M是的中垂线与y轴的交点，易求得的中垂线的方程为即，从而点M的纵坐标，将式①代入可得，因为，所以.【答案】