8.11 椭圆中的两个最大张角结论 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第11节  椭圆中的两个最大张角结论知识与方法1.如图1所示，设A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆C上不与A、B重合的一个动点，则始终为钝角，且当P为短轴端点时，最大.2如图2所示，设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.典型例题【例1】已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最大值为______.【解析】解法1：如图，不妨设P在x轴上方，作轴于点Q，设，，则，设，则，，而①，因为点P在椭圆C上，所以，从而，代入①得：，显然当时，取得最大值，此时也取得最大值.解法2：如图，不妨设P在x轴上方，设，，则由椭圆第三定义，，所以，而，显然、均为锐角，所以，故，当且仅当时取等号，此时，P为椭圆的上顶点，所以的最大值为，故的最大值为.【答案】【反思】上面的求解过程给出了两种推导椭圆上的动点对左、右顶点最大张角结论的方法，事实上，这一结论对任意的椭圆都成立，若熟悉了这一结论，小题中就可以直接用了.变式1  椭圆的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，若的最大值为，则______.【解析】的最大值为的最大值为，如图，由最大张角结论，当P为短轴端点时，最大，所以图中的，从而，故，解得：.【答案】1变式2  椭圆的左、右顶点分别为A和B，若C上存在点P，使得，则m的取值范围是______.【解析】椭圆C上存在点P，使得等价于最大张角大于等于，如图，，解得：.【答案】【例2】椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.【解析】如图，由题意，，设，，由椭圆定义，，在中，由余弦定理，，当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为.【答案】【反思】上面的求解过程给出了推导椭圆上的动点对左、右焦点最大张角结论的方法，事实上，这一结论对任意的椭圆都成立，若熟悉了这一结论，小题中就可以直接用了.变式  椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______.【解析】椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60°，如图，，即，又，所以.【答案】 强化训练l.（★★★）已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P为C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.【解析】由最大张角结论，当P为短轴端点时，最大，此时，最小，如图，，所以.【答案】2.（★★★）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上的动点，则的最大值为______.【解析】由最大张角结论，当P为短轴端点时，大，如图，由题意，，，所以当P为短轴端点时，为正三角形，从而的最大值为60°.【答案】60°3.（★★★）已知P为椭圆上任意一点，、是椭圆C的两个焦点，当最大时，，则椭圆C的离心率为______.【解析】由最大张角结论，当P为短轴端点时，最大，此时，如图，所以椭圆C的离心率.【答案】4.（★★★★）已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值______.【解析】椭圆C上存在点P，使得等价于当P为短轴端点时，,如图，，所以，从而，化简得：所以，从而，故，即椭圆C的离心率的最小值【答案】5.（★★★）椭圆的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，若的最小值为，则______.【解析】由最大张角定理，当P为短轴端点时，最大，此时，最小，如图，，解得：.【答案】 6.（2017·新课标Ⅰ卷·★★★★）设A、B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足，则m的取值范围是（    ）A.   B.C.   D.【解析】问题等价于当M为椭圆C的短轴端点时，，即，也即，当时，如图1，，解得：，当时，如图，，解得：，综上所述，m的取值范围是【答案】A