专题37 动量守恒定律、在碰撞问题中应用动量守恒定律-高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

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高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题37 动量守恒定律、在碰撞问题中应用动量守恒定律
导练目标
导练内容
目标1
动量守恒定律内容、条件、四性
目标2
弹性碰撞
目标3
非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
目标4
类碰撞模型
【知识导学与典例导练】
一、 动量守恒定律内容、条件、四性
1． 动量守恒定律内容及条件
(1)内容：如果系统不受外力，或者所受外力的合力为零，这个系统的总动量保持不变。
(2)表达形式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
(3)常见的几种守恒形式及成立条件：
①理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零。
②近似守恒：系统所受外力虽不为零，但内力远大于外力。
③分动量守恒：系统所受外力虽不为零，但在某方向上合力为零，系统在该方向上动量守恒。
2． 动量守恒定律的“四性”
(1)矢量性：表达式中初、末动量都是矢量，需要首先选取正方向，分清各物体初末动量的正、负。
(2)瞬时性：动量是状态量，动量守恒指对应每一时刻的总动量都和初时刻的总动量相等。
(3)同一性：速度的大小跟参考系的选取有关，应用动量守恒定律时，各物体的速度必须是相对同一参考系的速度。一般选地面为参考系。
(4)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
【例1】A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面水平光滑。当两物体被同时释放后，则（　　）


A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成系统的动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成系统的动量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成系统的动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成系统的动量守恒
【答案】BCD
【详解】A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，由于A、B两物体质量之比为：：2，由可知弹簧释放时，小车对A、B的滑动摩擦力大小之比为3：2，所以A、B组成的系统合外力不等于零，系统的动量不守恒，A错误；
B．对于A、B、C组成的系统，由于地面光滑，系统的合外力为零，则系统动量守恒，B正确；
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，方向又相反，所以A、B组成的系统合外力为零，A、B组成的系统动量守恒，C正确；
D．对于A、B、C组成的系统，系统的合外力为零，则系统动量守恒，D正确。故选BCD。
二、 弹性碰撞
1.碰撞三原则：
(1)动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋.
(3)速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
2. “动碰动”弹性碰撞
v1
v2
v1’ˊ
v2’ˊ
m1
m2
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有：
(1) (2)
联立（1）、（2）解得：
v1’=，v2’=.
特殊情况： 若m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 .
3. “动碰静”弹性碰撞的结论
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2）
解得：v1′＝，v2′＝
结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换)
(2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑)
(3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹)
(4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍)
(5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
【例2】如图所示，光滑水平面上有外形相同的A、B两个物体均向左运动，物体A的动量p1=5kg·m/s，物体B的动量p2=7kg·m/s，在物体A与物体B发生对心碰撞后物体B的动量变为10kg·m/s，则A、B两个物体的质量m1与m2间的关系可能是（　　）

A．m1=m2 B．m1=m2 C．m1=m2 D．m1=m2
【答案】C
【详解】AB．两个物体在碰撞过程中动量守恒，所以有即由于在碰撞过程中，不可能有其他形式的能量转化为机械能，只能是系统内物体间机械能相互转化或一部分机械能转化为内能，因此系统的机械能不会增加，有；因为题目给出的物理情景是“物体A与物体B发生对心碰撞”，要符合这一物理情景，就必须有即同时还要符合碰撞后B物体的速度大于或等于A物体的速度这一物理情景，即所以故选C。
【例3】如图所示，小球A、B均静止在光滑水平面上，现给A球一个向右的初速度，之后与B球发生对心碰撞。关于碰撞后的情况，下列说法正确的是（　　）

A．碰后小球A、B一定共速
B．若A、B球发生完全非弹性碰撞，A球质量等于B球质量，则A球将静止
C．若A、B球发生弹性碰撞，A球质量小于B球质量，则无论A球初速度大小是多少，A球都将反弹
D．若A、B球发生弹性碰撞，A球质量足够大，B球质量足够小，则碰后B球的速度可以是A球的3倍
【答案】C
【详解】A．小球A、B发生对心碰撞，有可能是完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，非弹性碰撞；若是完全非弹性碰撞，则AB两小球具有共同速度，若不是，两球速度不同，则A错误；
B．若A、B球发生完全非弹性碰撞，AB碰后有共同速度，有动量守恒可得解得
若A球质量等于B球质量，则故B错误；
CD．小球A、B发生对心碰撞，若是完全弹性弹性碰撞，则根据动量守恒和机械能守恒，则
解得，若A球质量小于B球质量，有上述和的表达式可知，A球质量足够大，B球质量足够小，有上述和的表达式可知故C正确，故D错误。故选C。
三、 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
1.非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ (1)
损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： m1v12+ m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ 2 + ΔEk. (2)
2.完全非弹性碰撞
v1
v2
v共
m1
m2
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1）
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2 （2）
联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk=
【例4】A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，，，，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【详解】两球碰撞过程中系统动量守恒，以两球的初速度方向为正方向，如果两球发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得代入数据解得如果两球发生完全弹性碰撞，有
由机械能守恒定律得代入数据解得
则碰撞后A、B的速度；故选C。
四、 类碰撞模型


类“完全弹性碰撞”
类“完全非弹性碰撞”
子弹打木块模型



板块模型




弹簧模型


弧形槽模型


摆球模型


【例5】长为L、质量为M的木块在粗糙的水平面上处于静止状态，有一质量为m的子弹（可视为质点）以水平速度击中木块并恰好未穿出。设子弹射入木块的过程时间极短，子弹受到木块的阻力恒定，木块运动的最大距离为x，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　）

A．子弹受到的阻力大小
B．子弹受到的阻力大小
C．木块与水平面间的动摩擦因数
D．木块与水平面间的动摩擦因数
【答案】AC
【详解】AB．设子弹射入木块的过程时间极短，由动量守恒得根据动能定理得
联立解得，A正确，B错误；
CD．子弹和物块一起做减速运动，由动能定理得联立解得
C正确，D错误。故选AC。
【例6】如图甲所示，光滑的水平地面上放着一个足够长的长木板，t=0时，一质量为m的滑块以初速度v0滑上长木板，两者的v﹣t图像如图乙所示，当地的重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．在0～t0时间内，滑块在长木板上滑过的位移为
B．长木板的质量为
C．在0～t0时间内，滑块受到的摩擦力为
D．在0～t0时间内，滑块与长木板之间因摩擦而产生的热量为
【答案】C
【详解】A．在0～t0时间内，滑块在长木板上滑过的位移为 ，A错误；
B．根据动量守恒定律得 解得 ，B错误；
C．在0～t0时间内，对木板根据动量定理得 解得，C正确；
D．在0～t0时间内，根据能量守恒定律得 ，D错误。故选C。
【例7】如图甲所示，一轻质弹簧的两端分别与质量是m1、m2的A、B两物块相连，它们静止在光滑水平面上，两物块质量之比m1：m2＝2：3．现给物块A一个水平向右的初速度v0并从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，下列说法正确的（　　）

A．t1时刻弹簧长度最短，t2时刻弹簧长度最长
B．t2时刻弹簧处于伸长状态
C．v2＝0.8v0
D．v3＝0.5v0
【答案】AC
【详解】AB.从图象可以看出，从0到t1的过程中，m1的速度比m2的大，弹簧被压缩，t1时刻两物块达到共同速度，此后，m1的速度比m2的小，两者间距增大，弹簧的压缩量减小，所以t1时刻弹簧长度最短，t2时刻m2的速度最大，此后m2的速度减小，弹簧被拉伸，则t2时刻弹簧恢复原长，t3时刻两滑块速度相等，此时弹簧最长，故A符合题意，B不符合题意；
C.两滑块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m1v0＝﹣m1v1+m2v2
t2时刻弹簧恢复原长，弹簧弹性势能为零，系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：
解得：v2＝0.8v0故C不符合题意；
D.两滑块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m1v0＝（m1+m2）v3解得：v3＝0.4v0
故D不符合题意；
【例8】如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且与水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度v0向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．滑块b沿a上升的最大高度为
B．物块a运动的最大速度为
C．物块a对滑块b的冲量大小
D．物块a对滑块b的所做的功
【答案】BD
【详解】A．b沿a上升到最大高度时，两者速度相等，取向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得
mv0=(m＋4m）v由机械能守恒定律得mv02=（m＋4m）v2＋mgh解得h=，A错误；
B．滑块b从滑上a到滑离a后，物块a运动的速度最大。系统在水平方向动量守恒，对整个过程，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=mvb＋4mva由机械能守恒定律得mv02=mvb2＋×4mva2解得va=v0，vb=v0，B正确；
C．对b由动量定理，C错误；
D．对b由动能定理，D正确。故选BD。
【例9】如图所示，质量为m滑块A套在一水平固定的光滑细杆上，可自由滑动。在水平杆上固定一挡板P，滑块靠在挡板P左侧且处于静止状态，其下端用长为L的不可伸长的轻质细线悬挂一个质量为3m的小球B，已知重力加速度大小为g。现将小球B拉至右端水平位置，使细线处于自然长度，由静止释放，忽略空气阻力，则（　　）

A．滑块与小球组成的系统机械能不守恒
B．滑块与小球组成的系统动量守恒
C．小球第一次运动至最低点时，细线拉力大小为3mg
D．滑块运动过程中，所能获得的最大速度为
【答案】D
【详解】A．滑块与小球运动过程中，系统内没有除重力之外的力对系统做功，所以系统机械能守恒，故A错误；
B．小球向下摆动过程中，滑块受到挡板的作用力，滑块与小球组成的系统合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误；
C．设小球第一次运动至最低点时的速度为v，根据机械能守恒定律有①在最低点根据牛顿第二定律有 ②联立①②解得小球第一次运动至最低点时细线拉力大小为③故C错误；
D．当小球通过最低点后，P不再受挡板的作用力，此时小球与滑块组成的系统在水平方向动量守恒，设某时刻小球和滑块的速度分别为v1和v2，规定水平向左为正方向，根据动量守恒定律有  ④
由上式可知，当v1与v反向且达到最大值时，v2也将达到最大值，即小球第二次通过最低点时，滑块速度达到最大，根据机械能守恒定律有 ⑤联立①④⑤解得 ⑥
故D正确。故选D。
【多维度分层专练】
1．如图所示，小车a静止于光滑水平面上，a上有一圆弧PQ，圆弧位于同一竖直平面内，小球b由静止起沿圆弧下滑，则这一过程中（　　）

A．若圆弧不光滑，则系统的动量守恒，机械能不守恒
B．若圆弧不光滑，则系统的动量不守恒，机械能守恒
C．若圆弧光滑，则系统的动量不守恒，机械能守恒
D．若圆弧光滑，则系统的动量守恒，机械能守恒
【答案】C
【详解】不论圆弧是否光滑，小车与小球组成的系统在小球下滑过程中系统所受合外力都不为零，则系统动量都不守恒。但系统水平方向不受外力，所以系统水平方向的动量守恒；若圆弧光滑，只有重力做功，系统的机械能守恒；若圆弧不光滑，系统要克服摩擦力做功，机械能减少，故ABD错误，C正确。故选C。
2．光滑水平面和竖直光滑曲面相切于曲面的最低点，大小相同的弹性小球A、B质量分别为mA和mB。B静止于曲面的最低点，让球A从曲面上一定高度h滑下，在最低点与球B发生正碰，碰撞过程无机械能损失，水平面足够长。下列说法正确的是（　　）

A．两小球不可能发生第二次碰撞
B．当时，两小球只能发生一次碰撞
C．增大h可能让两小球发生第二次碰撞
D．若mA