高中数学高考36第六章 数列与数学归纳法 6 4 数学归纳法课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 (n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
ZHISHISHULI
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？
提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.
2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？
提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？
提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　)(4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　　)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)
A.1 B.2C.3 D.4
解析　凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.
3.[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝ －nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝___，a3＝___，a4＝__，猜想an＝______.
A.1 B.1＋aC.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3
解析　当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
A.过程全部正确B.n＝1验证的不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.
6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是___.
解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*).当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和.当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.
题型一　用数学归纳法证明等式
左边＝右边，所以等式成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有
所以当n＝k＋1时，等式也成立.由①②可知对于一切n∈N*等式都成立.
用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0并验证当n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.
题型二　用数学归纳法证明不等式
例1　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；
解　由题意得，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
证明　由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，
要证当n＝k＋1时结论成立，
所以当n＝k＋1时，结论成立.
用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.
∵左边>右边，∴不等式成立.②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由①②知对一切大于1的自然数n，不等式都成立.
题型三　归纳—猜想—证明
例2　设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；
命题点1　与函数有关的证明问题
下面用数学归纳法证明.
则当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))
即结论成立.由①②可知，结论对n∈N*恒成立.
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.
解　已知f(x)≥ag(x)恒成立，
当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
当a>1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)1时，存在x>0，使φ(x)0，
∴0