高中数学高考44第八章 立体几何 8 2 空间几何体的表面积与体积课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.多面体的表面积、侧面积
ZHISHISHULI
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 ，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
1.如何求旋转体的表面积？
提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.
2.如何求不规则几何体的体积？
提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(　　)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(　　)(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
2.[P27练习T1]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1 cm B.2 cmC.3 cm D. cm
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.
3.[P28A组T3]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_______.
解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，
所以V1∶V2＝1∶47.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12π B. π C.8π D.4π
解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为 即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.
题型一　求空间几何体的表面积
1.(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
解析　设圆柱的轴截面的边长为x，
2.(2019·新乡模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为
解析　该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，
空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
题型二　求空间几何体的体积
例1　(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积
A.90π B.63πC.42π D.36π
解析　方法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6× ＝63π.故选B.
命题点2　求简单几何体的体积
解析　如题图，因为△ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱锥A－B1DC1的高.
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解.(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图.
跟踪训练1　(1)(2018·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为A.5 000 立方尺 B.5 500 立方尺C.6 000 立方尺 D.6 500 立方尺
解析　(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和.
(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______.
题型三　与球有关的切、接问题
例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为
解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
跟踪训练2　(1)(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为A.34π B.25πC.41π D.50π
解析　根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4，3，3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.
(2)(2019·皖南八校联考)中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为A. π B.4π C.8π D.64π
解析　由已知可得该“堑堵”是一个由长方体切去一半得到的直三棱柱，且长、宽、高分别是 ，1,1，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的体对角线是 ＝2，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为4π×12＝4π，故选B.
1.(2019·湖南省长沙市长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
解析　根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，
2.(2018·龙岩质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
解析　由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，
4.(2018·河南省南阳一中月考)某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为
解析　根据三视图可得该几何体是由棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，母线长为 的圆锥所得如图所示的组合体，则该组合体的侧面积为S1＝4×2×2＝16，两个底面的面积为S2＝2×(2×2－π×12)＝8－2π，两个圆锥的侧面积为S3＝2×π×1× ＝2 π，所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝16＋8－2π＋2 π＝24＋(2 －2)π.
5.(2018·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
解析　由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，
右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，
6.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 ＝______.
解析　由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，
7.一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为____.
8.(2019·天津十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.
解析　由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，
9.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为_______.
解析　如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，
10.(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_____.
解析　∵长方体的顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.
11.(2019·洛阳模拟)已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______.
12.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积.
解　方法一　如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥.
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，
13.(2018·上饶模拟)如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为1的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则它的体积为
解析　由题意可知该几何体是一个球，被3个经过球心的垂直平面所截，上半球保留相对的2个 球体，下半球保留相对的2个 球体，剩余几何体的体积是原几何体的一半，即 .
14.(2019·湛江模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为______.
则三视图对应的几何体为三棱锥E－ABF，将三棱锥补形为三棱柱ABF－A1B1E，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取AB，A1B1的中点G，H，易知外接球的球心为GH的中点，
15.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的体积是
解析　该几何体是如图所示的三棱锥P－ABC，三棱锥的高PD＝6，
且侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E，设该几何体的外接球的球心为O，OE⊥底面ABC，设OE＝x，外接球的半径为R，
16.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝ .
(1)求证：DE⊥平面ACD；
证明　∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.
解　∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，∴BE⊥平面ABC.