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高中数学高考14第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第1课时 导数的应用课件PPT
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这是一份高中数学高考14第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第1课时 导数的应用课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，课时作业等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
ZHISHISHULI
3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.
1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？
提示 不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(2)函数的极大值一定大于其极小值.( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )
2.[P32A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x＝2时，f(x)取到极小值
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数.
3.[P26练习T1(2)]函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是___________.
解析 由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞).
4.[P32B组T1(4)]当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是__________.
可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x
则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，
6.函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0].
7.(2018·郑州质检)若函数f(x)＝ ＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为_____.
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
8.若函数f(x)＝ －4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝____.
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
9.已知函数f(x)＝ ＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.
解析 f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，
第1课时 导数与函数的单调性
题型一 不含参函数的单调性
2.函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是A.(－∞，e) B.(1，e)C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞)
解析 由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞).
3.已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调递减区间是________.
解析 因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
4.(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间是___________________.
解析 f′(x)＝sin x＋xcs x－sin x＝xcs x.令f′(x)＝xcs x>0，
确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
题型二 含参数的函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间.
解 根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x).因为e－ax>0，
即f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增.
即f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减.综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练1 讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例2 (1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则A.g(a)<0
∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2 019)>(m－2 019)f(2)，m－2 019>0，
∴m－2 019<2且m－2 019>0，解得2 019
(－∞，－2)∪(0,2)
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).
命题点2 根据函数单调性求参数
例3 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
所以a>－1. 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞).
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.
解 因为h(x)在[1,4]上单调递减，
1.本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围.
解 因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，
2.本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.
解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
跟踪训练2 (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1,2] B.[4，＋∞)C.(－∞，2] D.(0,3]
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是______.
①若函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上单调递增，
②若函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上单调递减，
则g(t)∈[4,5)，∴a≤0，∴当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时，实数a的取值范围是(0,2).
含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.
SIXIANGFANGFA
用分类讨论思想研究函数的单调性
例 已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
由g′(x)>0，得01.
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
2.(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)
解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为af(b)>f(a)，故选C.
3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是
解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.
解析 因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，
5.已知函数f(x)＝ x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
6.(2018·广东省珠海市第二中学月考)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1 C.a≤1 D.0
{x|x<－1或x>1}
即函数F(x)在R上单调递减.
∴F(x2)1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}.
9.已知函数f(x)＝xln x－ax2在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是_________.
解析 f′(x)＝ln x－2ax＋1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则ln x－2ax＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
令g′(x)<0，解得x>1，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________________.
(－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0g(1)＝0，
综上知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (－∞，－1)∪(0,1).
11.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).
12.(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)＝ －1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2).讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性.
当a≤0时，F′(x)<0恒成立；当a>0时，由F′(x)<0，得x<－ln a，由F′(x)>0，得x>－ln a.故当a≤0时，函数F(x)在R上单调递减；当a>0时，函数F(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
13.定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)
∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，
解析 g′(x)＝6x2－12x，∴g″(x)＝12x－12，由g″(x)＝0，得x＝1，又g(1)＝0，∴函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)＋g(2－x)＝0，
②当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立.
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
ZHISHISHULI
3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.
1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？
提示 不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(2)函数的极大值一定大于其极小值.( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )
2.[P32A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x＝2时，f(x)取到极小值
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数.
3.[P26练习T1(2)]函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是___________.
解析 由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞).
4.[P32B组T1(4)]当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是__________.
可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x
则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，
6.函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0].
7.(2018·郑州质检)若函数f(x)＝ ＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为_____.
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
8.若函数f(x)＝ －4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝____.
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
9.已知函数f(x)＝ ＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.
解析 f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，
第1课时 导数与函数的单调性
题型一 不含参函数的单调性
2.函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是A.(－∞，e) B.(1，e)C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞)
解析 由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞).
3.已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调递减区间是________.
解析 因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
4.(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间是___________________.
解析 f′(x)＝sin x＋xcs x－sin x＝xcs x.令f′(x)＝xcs x>0，
确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
题型二 含参数的函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间.
解 根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x).因为e－ax>0，
即f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增.
即f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减.综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练1 讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例2 (1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则A.g(a)<0
∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2 019)>(m－2 019)f(2)，m－2 019>0，
∴m－2 019<2且m－2 019>0，解得2 019
(－∞，－2)∪(0,2)
∴在(0，＋∞)上，当且仅当0
命题点2 根据函数单调性求参数
例3 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
所以a>－1. 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞).
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.
解 因为h(x)在[1,4]上单调递减，
1.本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围.
解 因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，
2.本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.
解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
跟踪训练2 (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1,2] B.[4，＋∞)C.(－∞，2] D.(0,3]
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是______.
①若函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上单调递增，
②若函数f(x)＝aln x＋x2＋(a－6)x在(0,3)上单调递减，
则g(t)∈[4,5)，∴a≤0，∴当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时，实数a的取值范围是(0,2).
含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.
SIXIANGFANGFA
用分类讨论思想研究函数的单调性
例 已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
由g′(x)>0，得0
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
2.(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)
解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a
3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是
解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.
解析 因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，
5.已知函数f(x)＝ x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
6.(2018·广东省珠海市第二中学月考)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1 C.a≤1 D.0
{x|x<－1或x>1}
即函数F(x)在R上单调递减.
∴F(x2)
9.已知函数f(x)＝xln x－ax2在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是_________.
解析 f′(x)＝ln x－2ax＋1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则ln x－2ax＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
令g′(x)<0，解得x>1，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________________.
(－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0
综上知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (－∞，－1)∪(0,1).
11.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0
12.(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)＝ －1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2).讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性.
当a≤0时，F′(x)<0恒成立；当a>0时，由F′(x)<0，得x<－ln a，由F′(x)>0，得x>－ln a.故当a≤0时，函数F(x)在R上单调递减；当a>0时，函数F(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
13.定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)
∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，
解析 g′(x)＝6x2－12x，∴g″(x)＝12x－12，由g″(x)＝0，得x＝1，又g(1)＝0，∴函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)＋g(2－x)＝0，
②当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立.
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
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