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    高中数学高考14第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第1课时 导数的应用课件PPT

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    这是一份高中数学高考14第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第1课时 导数的应用课件PPT,共60页。PPT课件主要包含了内容索引,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,课时作业等内容,欢迎下载使用。

    NEIRONGSUOYIN
    基础知识 自主学习
    题型分类 深度剖析
    1.函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f′(x) 0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x) 0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
    ZHISHISHULI
    3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.
    1.“f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f′(x)>0在(a,b)上恒成立”,这种说法是否正确?
    提示 不正确,正确的说法是:可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.
    2.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(  )(2)函数的极大值一定大于其极小值.(  )(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(  )
    2.[P32A组T4]如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x=2时,f(x)取到极小值
    解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立,∴f(x)是增函数.
    3.[P26练习T1(2)]函数f(x)=ex-x的单调递增区间是___________.
    解析 由f′(x)=ex-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).
    4.[P32B组T1(4)]当x>0时,ln x,x,ex的大小关系是__________.
    可得x=1为函数f(x)在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f(x)≤f(1)=-1<0,所以ln x5.[P37A组T2]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是______.
    则V′=2(a-2x)×(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),
    6.函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是________.
    解析 f′(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,即4a2+12a≤0,解得-3≤a≤0,即实数a的取值范围是[-3,0].
    7.(2018·郑州质检)若函数f(x)= +ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a的值为_____.
    解析 f′(x)=x2-3x+a,且f(x)恰在[-1,4]上单调递减,∴f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],∴-1,4是方程f′(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4.
    8.若函数f(x)= -4x+m在[0,3]上的最大值为4,m=____.
    解析 f′(x)=x2-4,x∈[0,3],当x∈[0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,3]时,f′(x)>0,所以f(x)在[0,2)上是减函数,在(2,3]上是增函数.又f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以m=4.
    9.已知函数f(x)= +x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为________.
    解析 f′(x)=x2+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数,
    第1课时 导数与函数的单调性
    题型一 不含参函数的单调性
    2.函数f(x)=x·ex-ex+1的递增区间是A.(-∞,e) B.(1,e)C.(e,+∞) D.(e-1,+∞)
    解析 由f(x)=x·ex-ex+1,得f′(x)=(x+1-e)·ex,令f′(x)>0,解得x>e-1,所以函数f(x)的递增区间是(e-1,+∞).
    3.已知函数f(x)=xln x,则f(x)的单调递减区间是________.
    解析 因为函数f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=ln x+1(x>0),
    4.(2018·开封调研)已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cs x,则f(x)的单调递增区间是___________________.
    解析 f′(x)=sin x+xcs x-sin x=xcs x.令f′(x)=xcs x>0,
    确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
    题型二 含参数的函数的单调性
    例1 已知函数f(x)=x2e-ax-1(a是常数),求函数y=f(x)的单调区间.
    解 根据题意可得,当a=0时,f(x)=x2-1,函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.当a≠0时,f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).因为e-ax>0,
    即f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;
    即f′(x)≥0,函数y=f(x)单调递增.
    即f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增;
    即f′(x)≤0,函数y=f(x)单调递减.综上所述,当a=0时,函数y=f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0);
    (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.
    跟踪训练1 讨论函数f(x)=ex(ex-a)-a2x的单调性.
    解 函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f′(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
    综上所述,当a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增;
    题型三 函数单调性的应用
    命题点1 比较大小或解不等式
    例2 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则A.g(a)<0解析 因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时,a∈(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln 2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x),当x<0时,xf′(x)-f(x)<0.若 则a,b,c的大小关系是A.b又当x<0时,xf′(x)-f(x)<0,所以g′(x)<0,即函数g(x)在区间(-∞,0)内单调递减.因为f(x)为R上的偶函数,所以g(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递减.由0(3)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-f(x)<0,其中f′(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m-2 019)>(m-2 019)f(2),则实数m的取值范围为A.(0,2 019) B.(2 019,+∞)C.(2 021,+∞) D.(2 019,2 021)
    ∵xf′(x)-f(x)<0,∴h′(x)<0,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,∵2f(m-2 019)>(m-2 019)f(2),m-2 019>0,
    ∴m-2 019<2且m-2 019>0,解得2 019(4)设f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有 <0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是___________________.
    (-∞,-2)∪(0,2)
    ∴在(0,+∞)上,当且仅当00,此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
    命题点2 根据函数单调性求参数
    例3 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
    所以a>-1. 又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
    (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
    解 因为h(x)在[1,4]上单调递减,
    1.本例(2)中,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围.
    解 因为h(x)在[1,4]上单调递增,所以当x∈[1,4]时,h′(x)≥0恒成立,
    2.本例(2)中,若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求a的取值范围.
    解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则h′(x)<0在[1,4]上有解,
    所以a>-1,又因为a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
    根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
    跟踪训练2  (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)= x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是A.(1,2] B.[4,+∞)C.(-∞,2] D.(0,3]
    (2)已知函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上不是单调函数,则实数a的取值范围是______.
    ①若函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上单调递增,
    ②若函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上单调递减,
    则g(t)∈[4,5),∴a≤0,∴当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时,实数a的取值范围是(0,2).
    含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:①方程f′(x)=0是否有根;②若f′(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内;③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.
    SIXIANGFANGFA
    用分类讨论思想研究函数的单调性
    例  已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
    ∵函数g(x)的定义域为(0,+∞),
    由g′(x)>0,得01.
    综上可得:当a=0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
    1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)
    ∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
    2.(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)
    解析 由题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,因为af(b)>f(a),故选C.
    3.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是
    解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间,f′(x)<0的解集对应y=f(x)的减区间,验证只有D选项符合.
    解析 因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
    5.已知函数f(x)= x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
    6.(2018·广东省珠海市第二中学月考)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1 C.a≤1 D.0解析 f′(x)=3x2-2ax-1,由已知得3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,
    {x|x<-1或x>1}
    即函数F(x)在R上单调递减.
    ∴F(x2)1,即不等式的解集为{x|x<-1或x>1}.
    9.已知函数f(x)=xln x-ax2在(0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是_________.
    解析 f′(x)=ln x-2ax+1,若f(x)在(0,+∞)上单调递减,则ln x-2ax+1≤0在(0,+∞)上恒成立,
    令g′(x)<0,解得x>1,故g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
    10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________________.
    (-∞,-1)∪(0,1)
    解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.
    则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.
    故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.所以在(0,+∞)上,当0g(1)=0,
    综上知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (-∞,-1)∪(0,1).
    11.已知函数f(x)=(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值;
    (2)求函数f(x)的单调区间.
    所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h(1)=0知,当00,所以f′(x)>0;当x>1时,h(x)<0,所以f′(x)<0.综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
    12.(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)= -1(b∈R,e为自然对数的底数)在点(0,f(0))处的切线经过点(2,-2).讨论函数F(x)=f(x)+ax(a∈R)的单调性.
    当a≤0时,F′(x)<0恒成立;当a>0时,由F′(x)<0,得x<-ln a,由F′(x)>0,得x>-ln a.故当a≤0时,函数F(x)在R上单调递减;当a>0时,函数F(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
    13.定义在区间(0,+∞)上的函数y=f(x)使不等式2f(x)解析 ∵xf′(x)-2f(x)>0,x>0,
    ∵xf′(x)-3f(x)<0,x>0,
    解析 g′(x)=6x2-12x,∴g″(x)=12x-12,由g″(x)=0,得x=1,又g(1)=0,∴函数g(x)的对称中心为(1,0),故g(x)+g(2-x)=0,
    ②当a=1时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.
    当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
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