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高中数学高考15第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值课件PPT
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这是一份高中数学高考15第三章 导数及其应用 3 2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值课件PPT，共59页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，题型分类深度剖析等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
命题点2 求已知函数的极值例2 (2018·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值.
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值.②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
命题点3 根据极值(点)求参数
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围.
解 若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立.①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
题型二 用导数求函数的最值
f(x)的定义域为(0，＋∞).由f′(x)>0，得01，
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
跟踪训练2 (2017·北京)已知函数f(x)＝excs x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解 因为f(x)＝excs x－x，所以f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.
解 设h(x)＝ex(cs x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cs x－sin x－sin x－cs x)＝－2exsin x.
题型三 函数极值、最值的综合问题
例5 (2018·珠海调研)已知函数f(x)＝ (a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0，所以当－30，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.
解 由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
解得a＝1，b＝5，c＝5，
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝ 时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在[－3,1]上的最大值为_____.
解析 f′(x)＝3ax2＋4x－4，
∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
例 (12分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
所以f(x)的最小值是f(1)＝－a. [7分]
又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. [11分]综上可知，当0
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点
解析 设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f(x)为增函数，当x1
3.函数y＝xex的最小值是A.－1 B.－eC.－ D.不存在
解析 因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－故选C.
4.(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
解析 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点.当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值.故选C.
5.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于A.11或18 D.17或18
解析 ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为A.1百万件 B.2百万件C.3百万件 D.4百万件
解析 y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.
7.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是____________.
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是___________.
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为____.
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
10.(2018·长沙调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax 当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝___.
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
11.已知函数f(x)＝ax2－bln x在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1.(1)求实数a，b的值；
f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.
(2)求函数f(x)的极值.
解 由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0
解 当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
13.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A.20 B.18C.3 D.0
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点.又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
14.(2018·贵州质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为______.
解析 由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
15.已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_________.
解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，
即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0；若y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
16.已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]的最小值是2，求正实数a的值.
综上，正实数a的值为e.
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
命题点2 求已知函数的极值例2 (2018·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值.
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值.②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
命题点3 根据极值(点)求参数
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围.
解 若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立.①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
题型二 用导数求函数的最值
f(x)的定义域为(0，＋∞).由f′(x)>0，得0
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
跟踪训练2 (2017·北京)已知函数f(x)＝excs x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
解 因为f(x)＝excs x－x，所以f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.
解 设h(x)＝ex(cs x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cs x－sin x－sin x－cs x)＝－2exsin x.
题型三 函数极值、最值的综合问题
例5 (2018·珠海调研)已知函数f(x)＝ (a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0，所以当－3
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.
解 由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
解得a＝1，b＝5，c＝5，
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝ 时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在[－3,1]上的最大值为_____.
解析 f′(x)＝3ax2＋4x－4，
∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
例 (12分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
所以f(x)的最小值是f(1)＝－a. [7分]
又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. [11分]综上可知，当0
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点
解析 设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x
3.函数y＝xex的最小值是A.－1 B.－eC.－ D.不存在
解析 因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－故选C.
4.(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
解析 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点.当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值.故选C.
5.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于A.11或18 D.17或18
解析 ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为A.1百万件 B.2百万件C.3百万件 D.4百万件
解析 y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0
7.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是____________.
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是___________.
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a
9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为____.
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
10.(2018·长沙调研)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax 当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝___.
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
11.已知函数f(x)＝ax2－bln x在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1.(1)求实数a，b的值；
f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.
(2)求函数f(x)的极值.
解 由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0
解 当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
13.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A.20 B.18C.3 D.0
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点.又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
14.(2018·贵州质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为______.
解析 由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
15.已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_________.
解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，
即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0；若y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
16.已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]的最小值是2，求正实数a的值.
综上，正实数a的值为e.
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