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高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)课件PPT
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这是一份高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)课件PPT，共41页。PPT课件主要包含了内容索引，热点分类突破，真题押题精练，热点一最值问题，热点二范围问题，热点三证明问题，1求E的方程，∵9－t20，又a2＝b2＋c2，押题预测等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
解 延长MF1交E于点M′，
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；
因为A为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
(2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值.
可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0，由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，解得0
(1)求椭圆C的方程；
解 当直线AB的斜率k＝0时，此时k1，k2(O为坐标原点)，
当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为x＝my＋t，
Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)>0⇒m2－t2＋4>0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
∴2t2＝m2＋4，则t2≥2，②由①②可得t2≥2恒成立，
(2)求y0的取值范围.
解 当斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点T(x′，y′)，把y＝k(x－1)代入椭圆方程，得到方程(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
当k＝0时，MN的中垂线为y轴；当斜率不存在时，显然y0＝0.
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
例3 (2019·咸阳模拟)设定点F(0,1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.(1)求动点E的轨迹C的方程；
依题意知M到点F(0,1)与它到x轴的距离相等，
化简得x2＝4y，即为动点E的轨迹C的方程.
(2)设A，B是曲线C上两点，若曲线C在点A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.
∴kAF＝kBF，知A，B，F三点共线.
跟踪演练3 (2019·咸阳模拟)设定点F(0,1)，动圆E过点F且与直线y＝－1相切.(1)求动圆圆心E的轨迹C的方程；
解 依题意知，点E的轨迹C是以F(0,1)为焦点，以直线y＝－1为准线的抛物线，方程为x2＝4y.
(2)设P为直线y＝－1上任意一点，过点P作轨迹C的两条切线l1和l2，证明：l1⊥l2.
证明 设P(x0，－1)，显然过P与曲线C相切的直线斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－x0)，
即x2－4kx＋4kx0＋4＝0，依题意(－4k)2－4(4kx0＋4)＝0，即k2－kx0－1＝0，∴k1k2＝－1，∵k1，k2分别是直线l1和l2的斜率，∴l1⊥l2.
(2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2).
即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
显然方程有两个不等实根.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
圆W的左、右焦点，△PF1F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；
∵ △PF1F2为等腰三角形，∴|F1F2|＝|F2P|，
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.①求B点坐标；
解 由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
②求证：|EF1|＝|F1G|.
解 当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.
NEIRONGSUOYIN
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
解 延长MF1交E于点M′，
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；
因为A为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
(2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值.
可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0，由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，解得0
(1)求椭圆C的方程；
解 当直线AB的斜率k＝0时，此时k1，k2(O为坐标原点)，
当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为x＝my＋t，
Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)>0⇒m2－t2＋4>0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
∴2t2＝m2＋4，则t2≥2，②由①②可得t2≥2恒成立，
(2)求y0的取值范围.
解 当斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点T(x′，y′)，把y＝k(x－1)代入椭圆方程，得到方程(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
当k＝0时，MN的中垂线为y轴；当斜率不存在时，显然y0＝0.
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
例3 (2019·咸阳模拟)设定点F(0,1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.(1)求动点E的轨迹C的方程；
依题意知M到点F(0,1)与它到x轴的距离相等，
化简得x2＝4y，即为动点E的轨迹C的方程.
(2)设A，B是曲线C上两点，若曲线C在点A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.
∴kAF＝kBF，知A，B，F三点共线.
跟踪演练3 (2019·咸阳模拟)设定点F(0,1)，动圆E过点F且与直线y＝－1相切.(1)求动圆圆心E的轨迹C的方程；
解 依题意知，点E的轨迹C是以F(0,1)为焦点，以直线y＝－1为准线的抛物线，方程为x2＝4y.
(2)设P为直线y＝－1上任意一点，过点P作轨迹C的两条切线l1和l2，证明：l1⊥l2.
证明 设P(x0，－1)，显然过P与曲线C相切的直线斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－x0)，
即x2－4kx＋4kx0＋4＝0，依题意(－4k)2－4(4kx0＋4)＝0，即k2－kx0－1＝0，∴k1k2＝－1，∵k1，k2分别是直线l1和l2的斜率，∴l1⊥l2.
(2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2).
即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
显然方程有两个不等实根.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
圆W的左、右焦点，△PF1F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；
∵ △PF1F2为等腰三角形，∴|F1F2|＝|F2P|，
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.①求B点坐标；
解 由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
②求证：|EF1|＝|F1G|.
解 当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.
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