高中数学高考22第一部分 板块二 专题六 函数与导数 第3讲　导数的简单应用(小题)课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
热点一　导数的几何意义
热点二　利用导数研究函数的单调性
热点三　利用导数研究函数的极值、最值
应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.
(2)(2019·东莞调研)设函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y＝x B.y＝2xC.y＝－3x D.y＝4x
解析　函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax，若f(x)为奇函数，可得a＝－3，所以函数f(x)＝2x3－3x，可得f′(x)＝6x2－3，曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为－3，曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝－3x.
跟踪演练1　(1)(2019·六安联考)曲线f(x)＝aln x在点P(e，f(e))处的切线经过点(－1，－1)，则a的值为A.1 B.2 C.e D.2e
又该切线过点(－1，－1)，
(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b＝______.
解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋1和曲线y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，ln x1＋1)，(x2，ln(x2＋2)).∵直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，
利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
例2　(1)(2019·郑州质检)函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，f(0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为A.(0,2) B.(0,3)C.(2,3) D.(3，＋∞)
解析　函数f(x)在(0，＋∞)上可导，f′(x)为其导函数，令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝x·f′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，g(x)是单调减函数，x∈(2，＋∞)时，函数g(x)是单调增函数，又f(3)＝0，f(0)＝0，则g(3)＝3f(3)＝0，且g(0)＝0，则不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，不等式的解集为{x|0(2)(2019·江西红色七校联考)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是A.(－∞，1] B.(－∞，1)C.(－∞，2] D.(－∞，2)
解析　f′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立.方法一　①若Δ＝36(m2－4)≤0，即－2≤m≤2，满足g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立；②若Δ＝36(m2－4)>0，即m<－2，或m>2，
∴m<－2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是(－∞，2].
跟踪演练2　(1)(2019·上饶模拟)对任意x∈R，函数y＝f(x)的导数都存在，若f(x)＋f′(x)>0恒成立，且a>0，则下列说法正确的是A.f(a)f(0)C.ea·f(a)f(0)
解析　令g(x)＝ex·f(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在R上单调递增，因为a>0，所以g(a)>g(0)，即ea·f(a)>f(0).
令g(x)＝ax2－2ax＋1，因为函数f(x)在(1,3)上不单调，即g(x)＝ax2－2ax＋1在(1,3)上有变号零点，a＝0时，显然不成立，
它的充分不必要条件即为其一个子集.
利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数f(x)的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
例3　(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0解析　f(x)＝ex－ax2，可得f′(x)＝ex－2ax，要使f(x)恰有2个正极值点，则方程ex－2ax＝0有2个不相等的正实数根，
当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以使函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0(2)(2019·丹东质检)直线y＝m与直线y＝2x＋3和曲线y＝ln 2x分别相交于A，B两点，则|AB|的最小值为____.
解析　如图，设直线y＝m与y＝2x＋3的交点为A，直线y＝m与y＝ln 2x的交点为B，
当m<0时，f′(m)<0，f(m)单调递减；当m>0时，f′(m)>0，f(m)单调递增，所以当m＝0时，f(m)取得极小值，也是最小值，
跟踪演练3　(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(1)＝0，f′(1)＝0，但x＝1不是函数的极值点，则abc的值为____.
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①又f(1)＝1＋a＋b＋c＝0，②由x＝1不是f(x)的极值点，得f′(x)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4a2－12b＝0，③由①②③解得a＝－3，b＝3，c＝－1，∴abc＝9.
即 ＋ax0＋a＝0，①∴f′(x0)＝0，∴函数f(x)在(－∞，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，则f(x)的最小值为f(x0)＝ ＝－1，即 ②
令g(x)＝ex＋ax＋a，则g′(x)＝ex＋a>0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
1.(2017·山东，文，10)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cs x
解析　若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意.经验证，选项B，C，D均不符合题意.
2.(2019·全国Ⅱ，文，10)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0
解析　设y＝f(x)＝2sin x＋cs x，则f′(x)＝2cs x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
1.曲线y＝2xln x在x＝e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
解析　y＝2xln x，y′＝2×ln x＋2x×＝2ln x＋2，所以y′|x＝e＝2＋2＝4，且y|x＝e＝2e，所以切线方程为y－2e＝4(x－e)，即y＝4x－2e，
2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)<0，f(0)＝1，则不等式exf(x)<1的解集为A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
解析　令g(x)＝exf(x)，因为f(x)＋f′(x)<0，所以g′(x)＝(ex)′f(x)＋exf′(x)<0，故g(x)在R上单调递减，又因为f(0)＝1，所以g(0)＝1，所以当x>0时，g(x)<1，即exf(x)<1的解集为(0，＋∞).
3.已知函数f(x)＝(x－3)ex＋a(2ln x－x＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(e，＋∞) B.(e,2e2)C.(2e2，＋∞) D.(e,2e2)∪(2e2，＋∞)
解析　由题意，函数f(x)＝(x－3)ex＋a(2ln x－x＋1)，
又由函数f(x)在(1，＋∞)上有两个极值点，则f′(x)＝0在(1，＋∞)上有两个不同的实数根，
即xex－a＝0在(1，＋∞)上有不等于2的解，令g(x)＝xex，x>1，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以函数g(x)＝xex在(1，＋∞)上为单调递增函数，所以a>g(1)＝e且a≠g(2)＝2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即xex－a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥xex在(1,2)上恒成立，又由函数g(x)＝xex在(1，＋∞)上为单调递增函数，所以a>g(2)＝2e2，综上所述，可得实数a的取值范围是a>2e2，即a∈(2e2，＋∞).