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高中数学高考28第五章 平面向量与复数 5 1 平面向量的概念及线性运算课件PPT
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这是一份高中数学高考28第五章 平面向量与复数 5 1 平面向量的概念及线性运算课件PPT，共59页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 .(2)零向量：长度为 的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于 的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
ZHISHISHULI
3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 .
1.若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.
2.如何理解数乘向量？
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定.
3.如何理解共线向量定理？
提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( )(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( )(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(4)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.( )
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.
4.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.
5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，
题型一 平面向量的概念
1.给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且 则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中真命题的序号是____.
解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.故填③.
2.判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.4
向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则A.a⊥b B.|a|＝|b|C.a∥b D.|a|>|b|
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则.
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
解析 作出示意图如图所示.
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
题型三 共线定理的应用
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
解 假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b).
故当m＝7时，A，B，D三点共线.
2.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解 因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0).
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时两向量反向共线.
(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
1.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
因此A，B，D三点共线，故选B.
3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么 等于
因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，
A.2 B.－2 C.1 D.－1
解析 连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，
解析 注意到N，P，B三点共线，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
解析 因为M，N，P三点共线，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
解 取AC的中点D，连接OD，
∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
解 方法一 由D，O，C三点共线，
方法二 延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，
14.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(1， ] D.(－1,0)
又知A，B，D三点共线，
所以λ＋μ>1，故选B.
解析 设BC的中点为M，
∴P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点.
16.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.其中真命题的序号是________.
解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确.
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 .(2)零向量：长度为 的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于 的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
ZHISHISHULI
3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 .
1.若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.
2.如何理解数乘向量？
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定.
3.如何理解共线向量定理？
提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( )(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( )(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(4)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.( )
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.
4.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.
5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，
题型一 平面向量的概念
1.给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且 则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中真命题的序号是____.
解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.故填③.
2.判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.4
向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则A.a⊥b B.|a|＝|b|C.a∥b D.|a|>|b|
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则.
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
解析 作出示意图如图所示.
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
题型三 共线定理的应用
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
解 假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b).
故当m＝7时，A，B，D三点共线.
2.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解 因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0).
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时两向量反向共线.
(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
1.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
因此A，B，D三点共线，故选B.
3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么 等于
因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，
A.2 B.－2 C.1 D.－1
解析 连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，
解析 注意到N，P，B三点共线，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
解析 因为M，N，P三点共线，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
解 取AC的中点D，连接OD，
∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
解 方法一 由D，O，C三点共线，
方法二 延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，
14.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(1， ] D.(－1,0)
又知A，B，D三点共线，
所以λ＋μ>1，故选B.
解析 设BC的中点为M，
∴P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点.
16.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.其中真命题的序号是________.
解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确.
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